第一章 期望效用函数理论.pdf

资本资产定价的原理与模型ECJTUxulong第一章期望效用函数理论1.1序数效用函数1.1.1偏好关系设B是n维欧氏空间Rn中的凸集在B中引入一个二元关系记为“≥”如果它具有（1）反身性：若xB∈≥则xx；（2）可比较性：若xyB∈≥≥则xyy或x；（3）传递性：若xyzB∈则x≥≥yyz则x≥z。ECJTUxulong1.1.2字典序设在凸集Bxyx2=∈∞∈∞{}()00[)y[)中若如果或()(xyBxyB11∈∈2222)xxxx1>=212()()yy12≥则定义xy11≥xy22。1.1.3效用函数设BU是具有偏好关系“≥→”的选择集：BR+的单值函数如果xy∈BU()x≥Uy()当且仅当xy则称U为效用函数。ECJTUxulong1.1.4偏好关系的三条重要性质性质1（序保持性）对任意xy01∈∈Bxy及αβ[]⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤αxyxy+()11−+−>αββ()当且仅当αβ性质2（中值性）对任意xyz∈Bxyz那么存在唯一的01使ααα∈+−()xzy1(∼)性质3（有界性）存在x∗∗yB∈使对任意zB∈≤≤有xzy∗∗ECJTUxulong1.1.5序数效用函数存在定理定理1.1设选择集B上的偏好关系“≥”具有1.1.4节中的性质1∼性质3则存在效用函数UB：使得→R+（1）xy当且仅当UxUy()>()；（2）xy∼当且仅当UxUy()=()。ECJTUxulong1.2期望效用函数1.2.1彩票及其运算假定随机变量Xxxx有n个结果12n其概率pi≥0分布用向量表示为Pppp=()12nn是第个结果出现的概率其中。piiix∑pi=1()i=1称Pppp=12n为彩票。ECJTUxulong设B是所有彩票构成的集合Pppp=(12n)∈B()Qqqq=∈∈12nBα[]01定义αααααP⊕−(111)Qp=(1122+−()()qp+−qα…pnnα+−(1)qα)按定义可证明：（1）设PQB∈∈ααα[]01则P⊕−∈()1QB；（2）设PQB∈∈ααα[]01则P⊕−=⊕=()10PPPPP；（3）设PQBαα∈∈αααααααα[]01则ααP⊕−=−⊕()()11QααQP；（4）设PQBαααααααα∈∈123[]01则13⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤PQ⊕−()()113⊕−12PQ⊕−12()=+−⊕−−−()111P⎡()⎤Q⎣⎦⎡⎤1312⎣()1312⎦ECJTUxulong1.2.2彩票集合上的偏好关系设B中元素定义满足如下条件的偏好关系≥具有（1）返身性：任意PB∈≥有PP；（2）可比较性：任意PQ∈≥≥B则PQ或QP；（3）传递性：任意PPP123∈B如果PPPP1223≥≥则PP13≥；性质1：对任意PQ∈∈B设P