第1讲 期望效用函数理论与单期定价模型.pdf

第1章期望效用函数及风险度量众所周知在经济学中效用函数是偏好的定量描述投资人决策的依据。金融学是不确定性的环境中进行决策金融资产的价格和收益都是随机变量我们如何确定它的效用是必须解决的重要问题。期望效用函数理论是von-Nenmann和Morgenstren创立的。期望效用函数是对不确定性的环境中对于各种可能出现的结果定义效用函数值即von-NenmannandMorgenstren效用函数然后将此效用函数按描述不确定性的概率分布取期望值。本章首先介绍期望效用函数理论。然后在此基础上研究投资者的风险偏好以及风险度量最后介绍单期定价模型。1.1序数效用函数期望效用函数是基数效用函数为研究基数效用函数我们首先介绍序数效用函数所谓序数效用函数只要求效用函数值与偏好关系一致即如果消费者认为商品x比商品y更受偏好我们定义的序数效用函数就要求x的效用函数值比y的效用函数值大。假设商品选择B是n维欧式空间Rn中的凸集。我们首先引入偏好关系感念。1.1.1偏好关系设B是n维欧氏空间Rn中的凸集在B中引入一个二元关系记为“”如果它具有（1）（反身性）若x∈B则xx（2）（可比较性）若xy∈B则xy或者yx；(3)（传递性）若xyz∈B如果xyyz则xz。我们称“”是一个偏好关系。上述的二元关系我们可以如下理解若xy∈Bxy我们认为x比y好或者x不比y差。若xy与yx同时成立则x和y偏好无差异记为x～y。若xy但yx不成立则x严格地比y好记为xy。11.1.2字典序我们给出一个偏好关系的例子设选择集B=xyx∈0∞y∈0∞2{()[)[)}2容易验证B2是R中的凸集在B2上定义二元关系如下：若()x1y1∈B2()x2y2∈B2如果x1>x2或者x1=x2y1≥y2定义()x1y1()x2y2。下面验证上述的二元关系是一偏好的关系：①若()xyB∈2因为x=xy=y按定义(xy)(xy)即反身性成立。②若()x11y()x22yB∈2如果x12>x按定义(x1y1)(x2y2)反之如果x12<x则()x22yxy()11如果x1=x2y12>y按定义则(x1y1)()x2y2如果x1=x2y12<y则()x22yxy(11)即可比较性成立。③设()x11y()x22y()x33y∈B2若(x11y)(x22y)()x33y显然x13≥x如果x13>x按定义(x11y)(x33y)如果x13=x此时x123==xx因为()x11y()x22y所以y12≥y又(x22y)()x33y所以y23≥y于是y13≥y于是()x11y(x33y)即传递性成立。1.1.3效用函数设B是具有偏好关系“”的选择集U:B→R+的单值函数如果