241逆变换与逆矩阵.doc

镇江实验高级中学高中数学教案(必修一)第1章【集合】镇江实验高级中学高中数学教案(选修4-2)【矩阵与变换】§2.4.1逆变换与逆矩阵教学目标：1、知识与技能：⑴理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件。⑵理解逆矩阵的唯一性和(AB)-1＝B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义。⑶会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵。⑷会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。2、过程与方法：通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵的条件；通过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.3、情感态度与价值观：使用通俗的语言和丰富有趣的实例来循序渐进地展开教学内容，以此来激发学生的学习兴趣；通过设置思考与探究，来给学生创设思考与探究的空间.重点难点：1、教学重点：逆矩阵及其求法。2、教学难点：逆矩阵的求法。教学方法：自主合作探究教具准备：多媒体设备教学过程：问题探究、引入概念【情境】我们知道二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点P(x,y)变换到点P′(x′，y′).反过来，如果已知变换后的结果P′(x′，y′)，能不能“找到回家的路（逆变换）”，让它变回到原来的点P(x,y)呢？从变换的结果来看，虽然经历“走过去”又“走过来”的两次变换，但是最终还是回到原地，变回为“自己”.由于每个矩阵对应着一个几何变换，这两次连续的变换却又对应着两个矩阵的积，于是，上面的问题就变成了已经知道了矩阵A，我们能否找到一个矩阵B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同.【引入例】对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换的结果相同？⑴以x轴为反射轴作反射变换；⑵绕原点逆时针旋转60°；⑶横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；⑷沿y轴方向，向x轴作投影变换；⑸纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x,y)→(x+2y,y)的切变变换；解：⑴对于反射变换TA，满足条件的变换就是它自身，即B＝A.⑵对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，B为绕原点顺时针旋转60°的变换矩阵.⑶对于伸压变换TA，存在变换TB，它对应着使平面内的点保持横坐标不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的1/2的变换矩阵B.⑷对于投影变换TA，不存在满足条件的变换矩阵B.⑸对于切变变换TA，存在切变变换TB，它对应着使得平面内的点保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x,y)→(x－2y,y)的变换矩阵B.合作学习、形成概念【逆矩阵的定义】对于二阶矩阵A，B，若AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.【说明】⑴当一个矩阵A表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。⑵B为A的逆矩阵，则A也是B的逆矩阵；⑶若A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，记为A－1.假设B1，B2都是A的逆矩阵，则AB1＝B1A＝E，AB2＝B2A＝E，所以B1＝EB1＝(B2A)B1＝B2(AB1)＝B2E＝B2【思考】M的逆矩阵M－1和函数y=f(x)的反函数y=f－1(x)有什么异同？MM－1＝M－1M＝E，f－1[f(x)]＝x，f[f－1(x)]＝x.【若A可逆，则求A－1的方法】⑴几何变换：⑵待定系数法：若则A－1＝.若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.【证明】由于二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，它们分别为A－1，B－1，故AA－1＝A－1A＝E，BB－1＝B－1B＝E(AB)(B－1A－1)＝A(BB－1)A－1＝AEA－1＝AA－1＝E，(B－1A－1)(AB)＝B－1(A－1A)B＝B－1EB＝B－1B＝E，因此，(AB)－1＝B－1A－1.若A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.【证明】因为矩阵A存在逆矩阵，故AA－1＝E，于是B＝EB＝(A－1A)B＝A－1(AB)＝A－1(AC)＝(A－1A)C＝C【思考】如果二阶矩阵A存在逆矩阵，且BA＝CA，那么B＝C成立吗？成立，证明同上学以致用、深化概念【例1】用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.；；；.【分析】矩阵A是反射变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵B为伸压变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵C是旋转变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵D是投影变换矩阵，它不存在逆矩阵.【评析】：【例2】求矩阵的逆矩阵.【分析】（待定系数法），设，利用AA－1＝E得到关于x,y,z,w的方程组，求解即得。【评析】：【例3】求解矩阵AB的逆矩阵⑴；⑵.【分析】⑴⑵【例4】⑴已知变换，试将它写成坐标变换的形式；⑵已知变换，试将它写成矩阵乘法的形式.【解】⑴⑵自主探究、巩固概念总结反思、提高认识1.对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝