第3讲函数与方程及函数的应用(学生).doc

专题1函数与导数、不等式第3讲函数与方程及函数的应用一．瞄准高考1.函数的零点(1)三个等价关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．(尤其注意,f(a)f(b)<0是“函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点”的充分不必要条件)2.函数模型及其应用解决实际应用题,一般先考虑建立函数解析式,将其函数化,然后运用函数的知识解决问题.具体策略是:(1)审:审即审题,首先通过阅读能准确理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步预测所属数学模型,这一步是基础.(2)建:建即建立数学模型,也就是将文字语言转化为数学语言,利用已有的数学知识,建立相应的数学模型.正确进行建“模”是解应用题的关键的一步.(3)解:解即求解数学模型,得到数学结论.解题时,一要充分注意数学模型中元素的实际意义,二要注意优化过程.(4)答:答即将数学结论还原为实际问题的结果.二．解析高考题型一函数零点的判定例1已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)证明：f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明：f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过eq\f(1,4).题型二函数与方程的综合应用例2已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象的零点至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围.【变式】已知a、b是不全为0的实数,求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．题型三函数模型及应用例3某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处,已知AB＝20km,CB＝10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm.(1)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO＝θ(rad),将y表示成θ的函数关系式；②设OP＝x(km),将y表示成x的函数关系式．(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂位置,使三条排污管道总长度最短．三．感悟高考1．判断函数的零点,要善于运用“三个转化”,时常将函数的零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题,或转化为两个函数图象交点问题．需特别注意的是下面式子是错的：“f(a)f(b)<0⇔函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点”．2．对函数零点的考查,通常以函数为载体判断方程根的个数,或以此为背景求参数的范围,此类问题都是利用数形结合,借助函数图象(复杂函数的图象可用导数工具)加以解决．3．与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.4．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析,处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．四．备战高考若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3,那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是.设函数y＝x3与y＝(eq\f(1,2))x－2的图象的交点为(x0,y0),若x0所在的区间为(k,k+1)(kZ),则k=.(2010·福建)函数的零点个数为.食用油的零售价今年比去年只上涨25%,政府欲使明年比去年上涨10%,则明年比今年降价.已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a,b],且b－a＝1,a,b∈N*,则a＋b＝________.已知函数f(x)＝x2－1,g(x)＝a|x－1|.若|f(x)|＝g(x)有两个不同的解,则a=.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,则关于x的方程f(x)＝a(－1<a<1)的所有根之和S=(用a表示)．(2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若f(－1)＝0,试判断函数f(x)的零点个数；(2)若对∀x1,x2R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明∃x0(x1,x2),使f(x0)=eq\f(1,2)[f(x1)+f(x2)]成立.