23等差数列的前n项和（二）学案（人教A版必修5）.doc

第页共NUMPAGES5页§2.3等差数列的前n项和(二)课时目标1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．2．掌握等差数列前n项和的最值问题．3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.1．前n项和Sn与an之间的关系对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))2．等差数列前n项和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.3．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0,an＋1≥0))确定．(2)因为Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．一个有用的结论：若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于()A．nB．n2C．2n＋1D．2n－1答案D2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1答案B解析等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为()A．9B．8C．7D．6答案B解析由an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2))，∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，得7.5<k<9，∴k＝8.4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S6,S12)等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,9)答案A解析方法一eq\f(S3,S6)＝eq\f(3a1＋3d,6a1＋15d)＝eq\f(1,3)⇒a1＝2d，eq\f(S6,S12)＝eq\f(6a1＋15d,12a1＋66d)＝eq\f(12d＋15d,24d＋66d)＝eq\f(3,10).方法二由eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以eq\f(S6,S12)＝eq\f(3,10).5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，则eq\f(S9,S5)等于()A．1B．－1C．2D.eq\f(1,2)答案A解析由等差数列的性质，eq\f(a5,a3)＝eq\f(2a5,2a3)＝eq\f(a1＋a9,a1＋a5)＝eq\f(5,9)，∴eq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9,2)a1＋a9,\f(5,2)a1＋a5)＝eq\f(9,5)×eq\f(5,9)＝1.6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值答案C解析由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0.由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0即S9<S5.二、填空题7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N*)，则通项an＝________.答案2n－28．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．答案169解析方法一利用前n项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋eq\f(17,2)×(17－1)d＝25×9＋eq\f(9,2)×(9－1)d，解得d＝－2，