空间角的向量解法 学法指导 不分版本 试题.doc

空间角的向量解法严少林在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角。对于空间向量a，b，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中角的问题。一、求异面直线所成角例1.已知正四面体，E、F分别为AB、OC的中点，求OE与BF所成的角。解：如图1，设正四面体O—ABC的棱长为1图1则，故OE与BF所成的角为。文华点精：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，可求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示。需要注意的是：两向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，算出结果后应注意调整。二、求线面角、二面角例2.如图2，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，。（1）求面SCD和面SAB所成二面角的大小；（2）求SC与平面ABCD所成的角。图2解：（1）可利用两个平面的法向量来求这两个平面所成的二面角。在本题中，面SAB的法向量是，可令面SCD的法向量为，则故用θ表示所求二面角，则：（2）先求与的夹角又从而CS和面ABCD所成的角为。文华点精：①直线与平面α的夹角θ，是直线的方向向量m与平面α的法向量n的夹角β（锐角）的余角，故有。②设二面角为分别是平面α、β的法向量，则θ与相等或互补。用向量法求解空间角，避开了“作、证”两个基本步骤，只剩下单纯的计算，解题过程实现了程序化，易于求解。