高三数学一轮复习 9.7 空间角课件 文 大纲人教版 课件.ppt

1.掌握两直线所成的角的概念．2．掌握直线与平面所成的角的概念．3．掌握二面角及二面角的平面角的概念.1．两条异面直线所成的角(1)定义：设ab是两条异面直线过空间任一点O作直线a′∥ab′∥b则a′与b′所夹的叫做a与b所成的角．(2)范围：两异面直线所成角θ的取值范围是.(3)向量求法：设直线ab的方向向量为ab其夹角为φ则有cosθ＝＝.提示：异面直线的夹角与向量的夹角有所不同请注意思考它们的区别和联系．2．直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是.(3)向量求法：设直线l的方向向量为a平面的法向量为u直线与平面所成的角为θa与u的夹角为φ则有sinθ＝或cosθ＝sinφ.【思考】直线与平面所成的角和平面的法向量与直线的方向向量所成的角有怎样的关系？答案：当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是锐角时其余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是钝角时其补角的余角是线面角．3．二面角(1)二面角的取值范围是．(2)二面角的向量求法①若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线则二面角的大小就是向量的夹角(如图①)．②设n1n2分别是二面角α－l－β的两个面αβ的法向量则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．提示：在利用空间向量求二面角时一定要根据实际图形判断它是钝角还是锐角否则可能求出的是其补角．在实际图形中一定要灵活应用题设中已有的法向量这样可以简化运算过程．已知两平面的法向量分别为m＝(010)n＝(011)则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析：cos〈mn〉＝∴〈mn〉＝45°∴二面角为45°或135°.答案：C(2010·模拟精选)如图所示在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中O是底面ABCD的中心E、F分别是CC1、AD的中点那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于()A.B.C.D.解析：如图所示建立空间直角坐标系则D1(002)F(100)O(110)E(021)设OE和FD1所成的角为θ则cosθ==答案：B3．(2009·湖北荆州调研)如图所示已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等D是A1C1的中点则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系连接DADCDB1则C(000)则设平面B1DC的法向量为n=(xy1)由解得又∵∴答案：正方体ABCD－A1B1C1D1中二面角A－BD1－B1的大小为________．解析：如图所示以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz设正方体的边长为a则A(aa0)B(a00)D1(0aa)B1(a0a)．∴=(0a0)=(-aaa)=(00a)设平面ABD1的法向量为n＝(xyz)则n·＝(xyz)·(0a0)＝ay＝0n·＝(xyz)·(－aaa)＝－ax＋ay＋az＝0∵a≠0∴y＝0x＝z令x＝z＝1则n＝(101)同理平面B1BD1的法向量m＝(－1－10)cos〈nm〉＝而二面角A－BD1－B1为钝角故为120°.答案：120°求异面直线所成的角有两种方法：(1)平移法：即通过平移使其变为相交直线所成的角．(2)向量法：设v1、v2分别是异面直线l1、l2的方向向量则l1与l2所成角为〈v1v2〉或π－〈v1v2〉．如图所示等腰直角三角形ABC中∠A＝90°BC＝DA⊥ACDA⊥AB若DA＝1且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦