高三数学一轮复习 9.52 空间的角课件 理 大纲人教版 课件.ppt

掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念/理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念1．直线与平面所成的角(1)一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内那么说直线和平面所成的角是0°的角．(2)已知AO是平面α的斜线A是斜足OB垂直于αB为垂足则直线AB是斜线在平面α内的射影．设AC是α内的任一条直线且BC⊥AC垂足为C又设AO与AB所成的角为θ1AB与AC所成的角为θ2AO与AC所成的角为θ则cosθ＝cosθ1cosθ2.2．三种空间角的向量法计算公式(1)异面直线ab所成的角θ：cosθ＝|cos〈ab〉|；其中ab分别为直线ab的．(2)直线a与平面α(法向量n)所成的角θ：sinθ＝|cos〈an〉|；其中a为直线a的．1．如右图所示正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°二面角则异面直线AD与BF所成角的余弦值是()2．已知AB⊥平面α垂足为BBC为AC在α内的射影CD⊂α∠ACD＝60°∠BCD＝45°则AC与平面α所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：C4．已知点O在二面角α－AB－β的棱上点P在α内且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q都有∠POQ≥45°则二面角α－AB－β的大小是________．答案：90°1.几何法：解决直线与平面所成角的问题关键是找到斜线在平面内的射影将直线与平面所成的角转化成线线所成的角．2．向量法：可利用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面所成的角．【例1】如右图所示ABCD是正四面体E、F分别是BC和AD的中点．求：(1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角．解答：(1)如右图连结DE取ED的中点K连结FK、CK∵F是AD的中点∴AE∥FK则∠CFK为异面直线AE与CF所成的角(或其补角)设正四面体棱长为a则可得在Rt△KEC中CK＝∴在△CFK中cos∠CFK＝∴∠CFK＝arccos即异面直线AE和CF所成角为arccos.(2)在正四面体ABCD中因为各棱长都相等E是BC的中点所以BC⊥AEBC⊥DE∴BC⊥面AED(如上图所示)∴面ADE⊥面BCD交线为DE过A作AO⊥DE于O则AO⊥面BCD过F作FH⊥DE于H则FH⊥面BCD连结CH∴∠FCH为CF与面BCD所成的角∵FH＝AO∴FH＝asin∠FCH＝∴CF与平面BCD所成的角为arcsin.变式1.如右图四棱锥P－ABCD中底面ABCD为矩形PD⊥底面ABCDAD＝PDE、F分别为CD、PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC求AC与平面AEF所成的角的大小.解答：解法一：如图(1)证明：连结EP.∵PD⊥底面ABCDDE在平面ABCD内∴PD⊥DE.又CE＝EDPD＝AD＝BC.∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE.∵F为PB中点∴EF⊥PB.由三垂线定理得PA⊥AB.∴在Rt△PAB中PF＝AF又PE＝BE＝EA.∴△EFP≌△EFA.∴EF⊥FA.∵PB、FA为平面PAB内的相交直线．∴EF⊥平面PAB.连结BE交AC于G作GH∥BP交EF于H则GH⊥平面AEF.∠GAH为AC与平面AEF所成的角．由△EGC∽△BGA可知由△EGH∽△EBF可知GH＝BF＝.∴sin∠GAH＝.∴AC与平面AEF所成的角为arcsin.解法二：以D为坐标原点DA的长为单位1建立如图所示的空间直角坐标系．(1)证明：设E(a00)其中a>0则C(2a00)A(010)B(2a10)P(001)F(a)．