数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程课件 新人教B版选修2 1 课件.ppt

2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程【自我预习】1.抛物线的定义2.抛物线的标准方程图形图形图形【思考】思考下列问题:(1)抛物线的标准方程y2=2px(p>0)中p的几何意义是什么?提示:焦点到准线的距离.(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?提示:不一定.当直线l经过点F时点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时点的轨迹是抛物线.【自我总结】1.对抛物线定义的两点说明(1)定直线l不过F.(2)定义中包含三个“定”分别为一个定点一条定直线及一个确定的比值.2.抛物线标准方程的特点(1)是关于xy的二元二次方程.根据平方项可以确定一次项的取值范围.(2)p的几何意义是焦点到准线的距离.3.四种位置的抛物线标准方程的对比(1)相同点:①原点在抛物线上;②焦点在坐标轴上;③焦点的非零坐标都是一次项系数的(2)不同点:①焦点在x轴上时方程的右端为±2px左端为y2;焦点在y轴上时方程的右端为±2py左端为x2.②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同焦点在x轴(或y轴)正半轴上方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同焦点在x轴(或y轴)负半轴上方程右端取负号.【拓展延伸】抛物线与二次函数的关系二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)当bc为0时y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线标准方程为x2=a>0时抛物线开口向上a<0时抛物线开口向下当抛物线的开口方向向左或向右时方程为y2=2px表示一条曲线不能称为函数.【自我检测】1.思维辨析(对的打“√”错的打“×”)(1)抛物线的方程都是二次函数.()(2)准线方程为y=4的抛物线的标准方程是x2=-16y.()(3)抛物线的开口方向由一次项确定.()提示:(1)×.当抛物线是开口向上或向下时该曲线也是二次函数的图象;当抛物线是开口向右或向左时该曲线不是二次函数的图象.(2)√.由题意可设抛物线方程为x2=-2py(p>0)因为抛物线的准线方程为y==4所以p=8所以该抛物线的标准方程为x2=-16y.(3)√.一次项决定焦点所在的坐标轴一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上故该说法正确.2.抛物线y2=20x的焦点坐标是()A.(100)B.(50)C.(010)D.(05)【解析】选B.因为2p=20所以p=10故=5且焦点在x轴正半轴上.故为(50).3.抛物线x=-2y2的准线方程是()A.y=B.y=C.x=D.x=【解析】选D.抛物线x=-2y2化为标准方程为y2=则p=故准线方程为x=4.已知动点P到定点(20)的距离和它到定直线l:x=-2的距离相等则点P的轨迹方程为.【解析】由条件可知P点的轨迹为抛物线其焦点为(20)准线方程为x=-2所以=2p=4所以轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x类型一求抛物线的标准方程【典例】1.顶点在坐标原点对称轴为坐标轴过点(-23)的抛物线方程是()A.y2=B.x2=C.y2=D.y2=2.分别根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0-2).(2)准线方程为y=(3)焦点在x轴负半轴上焦点到准线的距离是5.【解题探究】1.典例1中过点(-23)的抛物线开口具有什么特征?提示:抛物线开口可能向左也可能向上.2.典例2中求抛物线的标准方程的关键是什么?提示:确定焦点位置及p的值.【解析】1.选D.因为点(-23)在第二象限所以设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p′y(p′>0)又点(-23)在抛物线上所以p=所以抛物线方程为y2=2.(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上且=-2则p=4所以所求抛物线的标准方程为x2=-8y.(2)因为抛物线的准线平行于x轴且在x轴上面且则所以所求抛物线的标准方程为x2=(3)由焦点到准线的距离为5知p=5又焦点在x轴负半轴上所以所求抛物线的标准方程为y2=-10x.【方法技巧】求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时可利用待定系数法设出抛物线的标准方程由已知条件建立关于参数p的方程求出p的值进而写出抛物线的标准方程.(2)当焦点位置不确定时可设抛物线的方程为y2=mx或x2=ny利用已知条件求出mn的值.【变式训练】求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(-32).(2)焦点在直线x-2y-4=0上.【解析】(1)设所求的抛物线方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=2py(p>0)由过点(-32)知4=-2p1·(-3)或9=2p·2得