高二数学合情推理与演绎推理知识精讲 苏教版.doc

用心爱心专心115号编辑高二数学合情推理与演绎推理知识精讲一.本周教学内容：合情推理与演绎推理二.重点、难点：教学重点：能用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．教学难点：了解合情推理和演绎推理的联系和区别．三.基础知识与基本方法1、知识结构2、合情推理与演绎推理的区别:①归纳是由特殊到一般的推理;②类比是由特殊到特殊的推理;类比是根据两种事物某些属性的相似，推断出它们其他属性也可能相似的一种推理方法．类比可分为概念类比、结构类比、解法类比和性质类比．通过类比发现新的数学知识和新的解题方法，通过类比可进一步培养学生的发散思维能力和创造思维能力，通过类比可深刻揭示知识的内涵和外延．③演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理，是由一般到特殊的推理．3、各种推理的思维模式归纳推理的思维过程为：实验、观察概括、推广猜测一般结论．类比推理的思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论．演绎推理的思维过程为：大前提：M是P，小前提：S是M，结论：S是P．例1.等和数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之和为同一个常数的数列．这个数列叫等和数列．这个常数叫等和数列的公和．若已知等和数列首项为2，公和为5，求该等和数列的通项公式与前n项之和．解：，变式：类比等比数列可以得到等积数列：若已知首项为2，公积为6，请写出该等积数列的通项公式与前n项和公式．说明：通过概念类比．可发现新知识，揭示新规律，从而培养学生的学习能力．例2.①若已知求的值．分析：等差数列求和方法为“倒序相加”法，由此结构特征，我们可求如下一些类型的和．只要利用f（n）＋f（1－n）＝，就可以求得答案为．②已知，则＝______（答：）③已知，则＝____________（答：1002）④若x∈R、n∈N*，定义：＝（－5）（－4）（－3）（－2）（－1）＝－120，则函数的奇偶性为（A）A.是偶函数而不是奇函数B.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数说明：类比相同或相似的结构，考查学生的发散思维能力，理性思维能力以及合情推理能力．例3.已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值．解：＝（）（x＋2y）＝3＋.类比上述解题方法，求解下列问题：①已知a，b为正常数，且a＋b＝10，x，y为正数，且＝1，又x＋y的最小值为18，求a，b的值.分析：x＋y＝（x＋y）×（）＝a＋b＋＝18，故②已知a，b为正数，且a≠b，x，y∈R＋，求证：，并指出等号成立的条件．③利用②的结论求函数f（x）＝的最小值，并指出等号成立的条件．说明：通过解法类比，考查学生知识的迁移能力和灵活应用知识的能力．例4.（2003上海春季）已知椭圆具有的性质：若M，N是椭圆C1:（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM·kPN是与点P位置无关的定值，试对双曲线C2:写出具有类似性质，并加以证明．分析：kPM·kPN＝.说明：性质类比主要是学科内部的类比，如圆锥曲线间的性质类比等，有利于考查学生类比探究的能力．例5.（2002春季京皖）已知点的序列An（xn，0），（n∈N＋）其中x1＝0，x2＝a（a>0），A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，…（1）写出xn与xn－1，xn－2之间的关系式；（2）设an＝xn－1－xn－2，计算a1，a2，a3，由此推测得{an}的通项公式，并加以证明；答：（1）xn＝（xn－1＋xn－2）（2）a1＝x2－x1＝a－0＝a，a2＝x3－x2＝.a3＝x4－x3＝.由此推测得an＝.验证如下：．∴{an}是以－为公比的等比数列．∴an＝a1（－）n－1＝（－）n－1a（n∈N＋）.例6.（1）设a，b是两个实数，求证：若|a|<1，|b|<1，则<1．（2）对于三个实数a，b，c，是否存在与（1）类似的结论？答：（1）证明略（2）存在<1．例7.空间n个平面最多把空间分成多少个部分?解：“最多”需任意两个平面不平行，任意三个平面不交于一直线．平面之于空间低一维，恰似直线之于平面低一维．所以我们可以类比直线分平面的个数使问题获解．当直线分平面时，第k条直线与前k–1条直线有k–1个交点，这k–1个交点把直线分成k段，每一段把原所在平面分成2部分．记k条直线分平面的个数为P（k）＝P（k–1）＋k类比上述直线分平面的关系可知，第k个平面与前k–1个平面有k–1条直线，这k–1条直线把平面分为P（k–1）个平面，每一平面把原所在空间分为2部分．记k个平面分空间的个数为W（k）＝W