高二数学第九节 多面体 欧拉公式的发现知识精讲 人教版.doc

用心爱心专心高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E—SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n边形的每个内角等于，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数F，棱数E，那么V+F-E＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E常见方法：(1)E＝V+F-2(2)E＝各面多边形边数和的一半(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1下列几何体是正多面体的是()A.长方体B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥解选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是.解(2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有条棱，面；②如果它是棱柱，那么它有条棱个面.解①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V与面数F之间的关系.解∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E＝F，代入欧拉公式：V+F-F＝2即2V-3F＝4.例2一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为()A.5400°B.6480°C.7200°D.7920°解由欧拉公式，V＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480°∴应选B.例3将边长为a的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a，侧棱长为＝a，而正八面体可分为两个正四棱锥.故V＝2×(a)2××＝.说明用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连接AF、CE，(1)求异面直线AF、CE所成角的大小；(2)求CE与底面BCD所成角的大小.解(1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD内作EG∥AF交DF于G，那么CE与GE所成非钝角的角就是异面直线AF、CE所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF＝CE＝DF＝a,GF＝EG＝AF＝a,CG2＝CF2+GF2＝(a)2+(a)2，即CG2＝a2，于是CG＝a.在ΔCEG中，cos∠CEG＝，所以cos∠CEG＝，于是∠