高二数学欧拉公式的发现、球 知识精讲 人教版.doc

用心爱心专心高二数学欧拉公式的发现、球知识精讲人教版一.本周教学内容：欧拉公式的发现、球二.重点、难点1.简单多面概念：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。简单多面体分类（如下图）2.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，那么V＋F－E＝2设各面的边数为n1,n2，…，nF，则n1＋n2＋…＋nF＝2E设各顶点出发的棱分别为n1,n2，…，nV则n1＋n2＋…＋nV＝2E3.球定义：半圆以它的直径为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体。（简称球）性质：（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面。（2）设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r＝。球面距离：在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点间球面距离。P点的经度——经过P点的经线NB与地轴NO确定的半平面NBO与本初子午线NA与地轴NO确定的半平面NAO所成二面角的度数，即角AOB的度数。P点的纬度——经过P点的球半径PO与赤道面所成角的度数，即角POB的度数。同纬度两点的球面距离的求法（如图）（1）作出以球心O为顶点的三棱锥O－O′MN.（2）计算球心角∠MON的大小（弧度数）（3）求出大圆上M、N两点间的劣弧长。2.面积和体积的计算公式球表面积：S球＝4πR2球体积：V球＝πR3＝πd3【典型例题】例1.已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，以每个顶点有一端都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。解：设三角形和八边形两种晶面的个数分别为x、y则3x＋9y＝2E①又24×3＝2E②x＋y＝F③V＝24④由欧拉公式F＋V＝E＋2⑤联立解得x＝9，y＝5例2.有一个各面都是三角形的正多面体，设顶点数V、面数F、棱数E，（1）求证：，（2）如果过各顶点的棱数都相等，则此多面体是几面体？（1）证明：因为此正多面体有F个面，每个面有3条边，所以F个面总共有3F条边，但由于各棱是两个面的交线且被计算过两次，所以实际棱数为；由欧拉公式V＋F－E＝2得V＝E－F＋2＝－F＋2＝＋2。（2）解：设各顶点处有m条棱，则mV＝2E,又，，代入上式得故6－m>0，所以m<6从而，所以m＝3、4、5，从而F＝4、8、20由此可知，此多面体分别为四面体、八面体和二十面体。例3.把地球看作半径为R的球，若A、B两地的纬度都是北纬α度，经度相差β度（0°＜β＜180°，求A、B两地间的球面距离。分析：如图过A、B两点和球心O作截面，截球所得的大圆上的劣弧的长即为A、B两点间的球面距离，若能求得截得大圆上∠AOB的角度即可。解：设北纬α度圆为小圆O1，在△AOO1中，∵∠OAO1＝α，OO1⊥AO1∴AO1＝R·cosα在△AO1B中，∵∠AO1B＝β，在△AOB中，例4.一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水，并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切（如图）问：将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？分析：球取出后水的体积保持不变V水＋V球＝V圆锥解：设球未取出时水面的高PC＝h，球取出后圆锥内水平面的高为x，图中PH＝x，以AB为底面直径的圆锥容积为球取出后水面下降到EF，水的体积为∵V水＝V圆锥－V球注：圆锥的轴截面必过球心，轴截面是正三角形及内切圆，利用平面几何知识求相关量．例5.过半径为R的球面上一点P作三条两两互相垂直的弦PA，PB，PC，求三棱锥P－ABC体积的最大值（如图）。解：如图，设O为球心，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°．PA，PB确定的小圆圆心为O1，则AB为其直径．设PO1交⊙O1于D，则PADB为矩形。又PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥面PADB。又∵OO1⊥面PABD，∴PC与OO1共面．∴P，C，D在大圆面上。∠CPD＝90°，∴O∈CDCD＝2R，根据球的对称性，CD可视为以矩形PADB为底面、PC为高的球的内接长方体的对角线．设PA＝x，PB＝y，PC＝z，则【疑难解析】1.欧拉公式应用在于将题目的已知条件转化为多面体面数、顶点数、棱数的数量关系，结合欧拉公式构建方程来解决一些未知量。2.球内切于多面体，体现在：（1）球心到各面的距离等于球半径数量关系。（2）半径所在的直线与相应的平面垂直的位置关系。球外接于多面体体现在多面体各顶点在球面上，即各顶点到球心的距离等于球半径。【模拟试题】1.过球面上两点可能作球的大圆个数是（）A.有且只有一个B.一个或无数多个C.无数多个D.不存在这种大圆2.体积相等的正方体、球、等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）