高二数学不等式的证明和解法举例、含有绝对值的不等式通用版知识精讲.doc

用心爱心专心高二数学不等式的证明和解法举例、含有绝对值的不等式通用版【本讲主要内容】不等式的证明和解法举例、含有绝对值的不等式举例说明证明不等式的三种常用方法，分式不等式、高次不等式、及绝对值不等式的解法。【知识掌握】【知识点精析】1.利用不等式的性质将不等式变形，是解、证不等式的关键。变形过程中常常用到等价转化思想、化归思想、配方思想、函数思想、分类讨论等数学思想。2.绝对值不等式的性质||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立。考纲要求能根据它进行简单推理证明。3.证明不等式的三种基本方法：（1）比较法：（2）综合法：综合法解题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件出发，利用公式、定理推出结论来，在推导过程中，必须保证每一步结果是前一步的必要条件。（3）分析法：分析法解题的指导思想是“执果索因”，即从所求证的不等式出发，分析使不等式成立的充分条件，直到找到明显成立的不等式或已证的不等式为止，那么就可以断定原不等式成立。分析法体现了数学中的正难则反的原则，也就是思维中的逆向思维。当然还有很多种方法：放缩法，反证法，换元法，数学归纳法等，在下一讲中有些方法我们会涉及。4.不等式的解法（1）分式不等式>0f（x）g（x）>00f（x）g（x）0且g（x）0（2）高次不等式设xn<xn－1<…<x2<x1（a>0）a（x－x1）（x－x2）…（x－xn）0（a>0）的解集是右起的奇序数的区间。a（x－x1）（x－x2）…（x－xn）0（a>0）的解集是右起的偶序数的区间。注意：①一定将各因式中x的系数化为正，才能运用以上序轴标根法，也叫穿针引线法。②数轴上最右边区间为＋，其次为－，规律＋，－相间。③若不等式不含等号，则标根处用空心标记。（3）含绝对值的不等式|ax＋b|<c（c>0）－c<ax＋b<c|ax＋b|>c（c>0）ax＋b>c或ax＋b<－c|f（x）|<g（x）－g（x）<f（x）<g（x）|f（x）|>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<－g（x）|f（x）|<|g（x）||f（x）|2<|g（x）|2|x－a|＋|x－b|>c（ab）利用零点分区法分三种情况x<a，axb，b<x去掉绝对值。注：解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号的方法是：等价转化法，零点分区法，平方法，实数绝对值的定义及实数绝对值的几何意义等。（4）指数不等式（a>0且a1）a>1时f（x）>g（x）0<a<1时f（x）<g（x）（5）对数不等式logaf（x）>logag（x）a>1时0<a<1时（6）无理不等式【解题方法指导】例1.已知a，b是正实数，求证：证明：法1：（比较法）=评述：作差比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，也是我们必须重点掌握的方法，其一般步骤是：作差——变形——判定。法2：（分析法）要证只须证：a＋b即证（a＋b）22a3＋b3＋2aba2b＋ab2＋2aba3＋b3－a2b－ab20a2（a－b）＋b2（b－a）0（a－b）2（a＋b）0a，b是正实数，该不等式显然成立，故原不等式成立。评注：直接证明不知如何下手时，可从所证去分析，即利用分析法证明。法3：（综合法）剖析：左边是分式型，利用基本不等式使左边向右边整式型过渡。证明：评述：综合法证明不等式，就是由已知出发，进行推理证明，要注意揭示条件与结论之间的差异与联系。例2.不等式的解集是（）A.（－1，0）[1，＋∞]B.（－∞，－1）[0，1]C.（－1，0）[0，1]D.（－∞，－1）[1，＋∞]解析：原不等式，故选A评述：（1）解型分式不等式的一般步骤：移项化为一边是0——通分化简——化为整式不等式。（2）利用序轴标根法解高次不等式。【考点突破】【考点指要】近几年的高考试题中，对不等式的证明几乎每年必考，且大多穿插在解答题中，一般属于难度较高的试题，有较好的区分度，有利于各种水平的学生被区分开来，有助于优秀学生脱颖而出，其分值为4~7分。高次不等式，分式不等式与一元二次不等式也是高考每年必考的一个重要内容，它们有时单独、直接地出现在选择题、填空题以及解答题的前一、二题中，难度低中档，有时与其它知识综合以解题工具的面貌出现。其分值为8~10分。考查通常分为三个层次：层次一：考查不等式的解法以及简单应用；层次二：考查含有参数的不等式解法，涉及分类讨论的数学思想；层次三：不等式的证明与函数、方程、三角函数、数列、解析几何、导数等知识综合考查。【典型例题分析】例3.（05年全国）设函数f（x）=2|x＋1|－|x－1|，求使f（x）2的x的取值范围。分析：不等式涉及两个绝对值，