高中数学数学归纳法及其应用举例(1)人教版选修（理科）.doc

用心爱心专心数学归纳法及其应用举例(1)目的要求:1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法．2．理解数学归纳原理的科学性．3．初步掌握数学归纳法的适用场合及证明步骤.教学过程:一、介绍归纳法，引出课题（1）观察：6=3+3，8=5十3，10=3+7，12=5十7，14=3+11，16=5十11，67+11，……我们能得出什么结论?1742年德国数学家哥德巴赫提出的著名的“哥德巴赫猜想”．（2）某次考试，教师根据成绩单，逐—核实后下结论：“全班及格”．这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确?(1)是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．(2)是完全归纳法，结论可靠，但——核对困难．（3）有一批（无穷多个）编了序号的命题：f(1),f(2),……，f(n)，……如果能保证下面两点：eq\o\ac(○,1)f(1)成立.eq\o\ac(○,2)如果f(k)(k≥1)成立，那么f(k+1)也成立.你能得出什么结论？二、讲授新课由（3）的原理得出的推理方法叫做数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确．回顾高一等差数列通项公式的推导：若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：……由此归纳等差数列的通项公式可得：这是用不完全归纳法得出的结论，现用数学归纳法证明.等差数列{an}中，求证：an=a1+(n-1)d.得到数学归纳法的两个步骤一个结论：(Ⅰ)证明当n=no(n=1)(如n=1或2等)时，结论正确；(Ⅱ)假设n=k(k且k≥no)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确结论：根据(Ⅰ)、(Ⅱ)，对于所有n≥no的自然数n，命题成立.初学者用数学归纳法证明命题可以分两个阶段进行：准备阶段：正确地写出f(1),f(n),f(n+1)；构造命题：已知f(n)成立，求证f(n+1)也成立.证明命题（两步一结论）：(Ⅰ)证明f(1)成立；(Ⅱ)假设f(n)成立，证明f(n+1)也成立.根据(Ⅰ)、(Ⅱ)归纳结论.三、例题例1用数学归纳法证明1十3十5…十(2n一1)=n【分析】①1+3+5…+(2n—1)=n是由无数命题组成：f(1)：1=1f(k)：1+3+5+…..+（2k-1）=kf(k+1)：1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)②怎样验算n=1时，等式成立?③如何实现n=k到n=k+1的过渡?④得到什么式子才能称n=k+1时等式成立?⑤书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式．例2用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=n(n+1)(2n+1)．四、作业