人教版高中数学(理科)选修数学归纳法及其应用举例（三）.doc

用心爱心专心数学归纳法及其应用举例（三）教学目的：1.牢固掌握数学归纳法的证明步骤熟练表达数学归纳法证明过程.2.对数学归纳法的认识不断深化教学重点：证明整除性问题证明与自然数n有关的几何问题．教学难点：在P(k)P(k+1)递推时找出n=k与n=k+1时的递推公式.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学归纳法的应用是教学的重点本节课着重是运用数学归纳法证明整除性问题证明与自然数n有关的几何问题在解析几何中主要是探索递推关系教会学生思维离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中尤其是解题教学中必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点.即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露知识形成过程的揭示为教学重点.用数学归纳法证明整除问题P(k)P(k+1)的整式变形是个难点找出它们之间的差异从决定n=k时P(k)做何种变形一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.用数学归纳法证明几何中的问题时难点就是在P(k)P(k+1)递推时找出n=k与n=k+1时的递推公式这是关键所在.要分析增加一条曲线或直线后点、线段、曲线段、平面块在P(k)基础上净增多少于是就找出了相应的递推关系教学过程：一、复习引入：1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法又叫做枚举法.与不完全归纳法不同用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0如果当n=n0时命题成立再假设当n=k(k≥n0k∈N*)时命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)根据这个假设如能推出当n=k+1时命题也成立那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1n0+2…命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*且k≥n0)时结论正确证明当n=k+1时结论也正确.由(1)(2)可知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉.二、讲解范例：例1用数学归纳法证明：x2n－y2n()能被x+y整除证明:(1)当n=1时x2n－y2n=x2－y2=(x－y)(x+y)所以(x－y)(x+y)能被x+y整除.故n=1时命题成立.(2)假设n=k时x2k－y2k能被x+y整除(利用添项去项将x2k+2－y2k+2配成x2k－y2k的形式再用归纳假设)因为x2k+2－y2k+2=x2·x2k－y2·y2k=x2(x2k－y2k)+x2·y2k－y2·y2k=x2(x2k－y2k)+y2k(x2－y2)由假设x2k－y2k能被x+y整除而x2－y2也能被x+y整除.故x2k+2－y2k+2能被x+y整除即n=k+1时也成立.由(1)、(2)知命题对一切正整数都成立.例2用数学归纳法证明：对于任意自然数n数11n+2+122n+1是133的倍数.证明：(1)当n=0时11n+2+122n+1=112+121=121+12=133.故n=0时命题成立.(2)假设当n=k时命题成立即11k+2+122k+1能被133整除.∴n=k+1时11(k+1)+2+122(k+1)+1=11·11k+2+122·122k+1=11·(11k+2+122k+1)+122·122k+1－11×122k+1=11·(11k+2+122k+1)+122k+1(144－11)=11·(11k+2+122k+1)+122k+1·133由归纳假设知11k+2+122k+1及133都能被133整除.∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除即n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知.命题对一切自然数都成立.说明：第一步的初始值可能会：当n=1时11n+2+122n+1=113+123=(11+12)(112－11×12+122)=23×(121+144－132)=23×133.∴23×133能被133整除.即n=1时命题成立