高中数学利用直线知识巧解最值问题学法指导.doc

用心爱心专心高中数学利用直线知识巧解最值问题孙道斌直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。一、利用直线的斜率性质直线斜率在上是单调递增的，在上也是单调递增的。例1.已知实数x、y满足，求的最大值与最小值。解：表示过点A（0，－1）和圆上的动点（x，y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为，即，则，解得因此，二、利用直线的截距例2.已知A（2，0），B（－1，2），C（―2，―3），连接A、B、C三点得封闭区域P（含边界），当动点Q（x，y）在区域P内移动时，求的取值范围。解：设，则当动点Q（x，y）在区域P内变化时，直线在y轴上的截距－b也随之变化。由下图知，当直线经过A、B两点时，－b分别取最小值和最大值，即b分别取最大值和最小值。把A、B两点坐标代入，得故2x－y的取值范围是［－4，4］三、利用线段的定比分点例3.求函数的值域。解：原函数可化为于是，原题等价于：当动点P（0，y）分以A（0，）与B（0，4）两点为端点的线段AB的定比时，求y的取值范围。当时，点P与点A重合，这时当时，，点P在线段AB（或BA）的延长线上，所以或综上所述，所求函数的值域是四、利用点到直线的距离例4.已知，求的最小值。解：把看作是点（x，y）到点（1，0）的距离（如下图所示）。因此，它的最小值就是点（1，0）到直线的距离，即，即。五、利用直线与曲线的位置关系例5.求证：证明：设，则，即点（cosθ，sinθ）既在直线上，又在圆上，即直线与圆有公共点，则，解得故命题得证。