高三数学 平面向量 平面向量的数量积 知识精讲 苏教版.doc

用心爱心专心116号编辑高三数学平面向量平面向量的数量积知识精讲苏教版一.教学内容：平面向量平面向量的数量积二.本周教学目标：高考要求：掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件三.本周知识要点：1.两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·＝︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定。2.向量的投影：︱︱cos＝∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影。3.数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积。4.向量的模与平方的关系：。5.乘法公式成立：；6.平面向量数量积的运算律：①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）＝0不能得到＝或＝。7.两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·＝。8.向量的夹角：已知两个非零向量与，作＝，＝，则∠AOB＝（）叫做向量与的夹角。cos＝＝。当且仅当两个非零向量与同方向时，θ＝0°，当且仅当与反方向时θ=180°，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。9.垂直：如果与的夹角为90°则称与垂直，记作⊥。10.两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝0。【典型例题】例1.判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸错；⑹对HYPERLINK"http://www.xjktyg.com/wxc/"。例2.已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；解：∴（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。例3.已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少？分析：为求与的夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值。解：由＝（１，），＝（＋１，－１）有·＝＋１＋（－１）＝4，｜｜＝2，｜｜＝2。记与的夹角为θ，则cosθ＝又∵０≤θ≤π，∴θ＝评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定。例4.如图，以原点和A（5，2）为顶点作等腰直角△ABO，使＝90°，求点和向量的坐标。解：设点坐标（x，y），则＝（x，y），＝（x5，y2）∵∴x（x5）＋y（y2）＝0即：x2＋y25x2y＝0又∵||＝||∴x2＋y2＝（x5）2＋（y2）2即：10x＋4y＝29由∴点坐标或；＝或例5.在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），且△ABC的一个内角为直角，求k值。解：当＝90时，＝0，∴2×1＋3×k＝0∴k＝当＝90时，＝0，＝＝（12，k3）＝（1，k3）∴2×（1）＋3×（k3）＝0∴k＝当∠C＝90时，＝0，∴1＋k（k3）＝0∴k＝例6.已知＝（3，4），＝（4，3），求x，y的值使（x＋y）⊥，且｜x＋y｜＝1。分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。解：由＝（3，4），＝（4，3），有x＋y＝（3x＋4y，4x＋3y）又（x＋y）⊥（x＋y）·＝０3（3x＋4y）＋4（4x＋3y）＝0即25x＋24y＝０①又｜x＋y｜＝1｜x＋y｜2＝１（３x＋4y）2＋（4x＋3y）2＝１整理得25x2＋48xy＋25y2＝１即x（25x＋24y）＋24xy＋25y2＝１②由①②有24xy＋25y2＝１③将①变形代入③可得：y＝±再代回①得：。【模拟试题】1.若＝（－4，3），＝（5，6），则3||2－4＝（）A.23B.57C.63D.832.已知（1，2），（2，3），（－2，5），则△为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知＝（4，3），向量是垂直的单位向量，则等于（）A.或B.或C.或D.或4.已知＝（2，3），＝（－4，7），则在方向上的投影为（）A.B.C.D.5.已知＝（λ，2），＝（－3，5）且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞B.λ≥C.λ＜D.λ≤6.给定两个向量＝（3，4），＝（2，－1）且（＋x）⊥（－），则x等于（）A.23B.C.D.7.＝（2，3），＝（－2，4），则（＋）·（－）＝。8.已知（3，2），（－1，－1），若点P（x，－）在线段的中垂线上，则x＝__________。9.已知（1，0），（3，1），（2，0），且＝，＝，则与的夹角为_________。10.已知||＝，＝（1，2）且∥，则的坐标为。11.已知＝（1，2），（1，1），＝－k，若⊥，则＝。12.已知＝（3，0），＝（k，5）且与的夹角为，则k的值为。13.已知＝（3，－1），＝（1，2），求满足条件x·＝9与x·＝－4的向量x。14.已知点A（1，2）和B（4