高三数学（理）平面向量的概念与运算、平面向量的数量积 知识精讲 人教版.doc

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高三数学（理）平面向量的概念与运算、平面向量的数量积知识精讲人教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
平面向量的概念与运算、平面向量的数量积

二.重点、难点：
1.（1）了解共线向量的概念、平面向量的基本定理；会将平面向量用两个非共线向量表示。
（2）理解向量的概念，理解两个向量共线的充要条件。
（3）掌握向量的几何表示，向量的加法与减法、实数与向量的积。
2.掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的运算及运算律和坐标运算；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。

【典型例题】
[例1]在中，，，BN与CM交于点E，，，用表示。

解：由已知得，
设，则
而∴
∴
同理，设，则

∴∴
由与不是共线向量，得，解得
∴，即

[例2]如图，已知ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于K，用向量方法求的值。

解：设，则∵
∴

设，则
又B、K、F三点共线∴存在实数，使
即
∴∴
由（1）：，代入（2）∴

[例3]O为坐标原点，已知A（3，1）B（）若C满足，，其中，，且，则点C的轨迹方程为？
解：由已知得A、B、C三点共线
∴即

[例4]O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，，则P的轨迹一定通过的（）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解：如图1，令，

图1
方法一：，则动点P满足，
所以点P的轨迹是由点A出发的射线
因为
所以四边形为菱形，所以平分
因此，点P的轨迹一定通过的内心
方法二：当时，因为
所以

得
又因为两向量夹角的余弦函数在闭区间上递减
所以
因为A、B、C不共线，所以AP平分，得点P的轨迹一定通过的内心
方法三：考虑特殊情形，取为等腰直角三角形，即，如图2
这时，的外心为AC的中点D，垂心为点B
而由题设知点P的轨迹是由点A出发，方向为的射线，不经过点D，也不经过点B，故排除A、D两个选项。其次，由于。知射线不平分BC，即不通过的重心，排除选项C，从而得选项B为答案。

图2

[例5]在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（）。若点C在的平分线上且，则。
解：
设的平分线交AB于D点
由内角平分线定理，知
∴
∴

[例6]设有两个向量，今有动点P从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为。设P、Q在秒时分别在、处，则当时，为多少秒？
解：由题意，
故P、Q两点的坐标分别为和
∴，
∵，故，即
解得

[例7]已知是同一平面内的三个向量，其中。
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角。
解：（1）设∵
∴∴
又∵，且∴，由
得或
（2）∵∴
即∴∴
∴夹角为

[例8]已知向量和，且
，求的值。
解析：
方法一：

由已知，得
又∴
∵∴∴
∴
方法二：

由已知，得
∵∴∴
∴

【模拟试题】
一.选择题：
1.设为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（）
A.B.C.D.
2.已知向量，向量，如果，那么等于（）
A.2B.1C.D.
3.已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与的关系为（）
A.P在的内部
B.P在的外部
C.P在AB边或其延长线上
D.P在AC边上且是AC的一个三等分点
4.已知点A（），B（0，0），C（），设的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于（）
A.2B.C.D.
5.与向量平行的单位向量是（）
A.B.C.D.
6.已知向量，若，则等于（）
A.B.C.D.
7.若，则在方向上的投影为（）
A.B.C.D.
8.已知向量与向量互相垂直且=，若，则等于（）
A.B.C.或D.或

二.解答题：
1.如图所示，D、E是中，AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知。试用表示和。

2.已知A（3，0），B（0，3），C（），O为原点。
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若且，求与的夹角。
3.在平行四边形ABCD中，A（1，1），，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，
（1）若，求点C的坐标；
（2）当时，求点P的轨迹。

[参考答案]
一.
1.B
解析：
2.C
解析：令（），则有
3.D
解析：∵又
∴即，即P分所成的比为2
4.C
解析：在中，AC=1，
∴AB=2由内角平分线的性质知∴BE=2EC
∴又∵与反向∴∴
5.D
解析：与平行的单位向量为
6.A
解析：
7.C
解析：投影为
8.D
解析：设，由题意知，消去，得
故或

二.
1.解析：由三角形的中位线定理，知，故，即

2.解析：（1）
∵∴即
∴
（2），
∵∴
即
∴∴
平方得∴
（3）∵∴