转化思想在数学解题中的应用 学法指导 不分版本.doc

用心爱心专心122号编辑转化思想在数学解题中的应用谢全苗客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化。反映在数学上的转化思想就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，变为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决。波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程”。转化思想就是要求我们换一个角度去看，换一种方式去想，换一种语言去讲，换一种观点去处理，以使问题朝着有利于解决方向不断变更，从不同的角度和特征出发，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来。转化就如同“翻译”，通过“翻译”，不仅使我们对能解决的问题不再停留在解决的层面上，而且让我们能站得更高、看得更清、想得更好、表叙得更简洁，做到既知道有几种解法，又明白以怎样方向入手去解才是最简。下面举例说明。1换一个角度去看例1若正数a、b满足，则ab的取值范围是__________。（1999年全国高考题）分析本题有多种解法，此题若由直接推出ab的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于a、b是正数，显然成立，当且仅当a=b时取等号。把等式转化为关于ab的不等式，这是关键的一步。解不等式（舍去），所以。即ab的取值范围是[9，。例2如图1，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A，B为焦点，当时，求双曲线的离心率e的取值范围。（2000年全国高考试题）分析一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E分有向线段AC所成的比”。这时，一些思维灵活，能换一个角度去看的学生就有了用武之地：他们首先看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图1，以AB的垂直平分线为y轴，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴。因为双曲线过C、D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称，并设双曲线方程为，则离心率。在做好这一基础性工作的前提下，如何由λ的范围来求e的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到这个双参数问题中，λ和e既互相制约，又在一个矛盾中统一（统一在一个方程里），这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个为辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维，灵活转化的绝妙压轴题。题虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭。因此，他们根据λ的范围已知这一条件，进而确立：先视λ为主元，再视e为主元，找出两个参数之间的关系，将问题转化为已知范围，再解不等式，由此求出参数e的范围这样一个整体的思路和思维策略。于是，他们先视λ为主元，找λ的关系式：依题意，记A（－c，0），C（），E（），其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点公式得：。但在如何再视e为主元，找出两个参数之间的关系时，又一次体现思维水平的层次性。视角1视点C、E为直线AC与双曲线的交点，这时，虽能把方程代入。这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径。思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了。视觉2视点C、E在双曲线上，将C、E的坐标和代入曲线的方程，得①②由①得：③将③式代入②式整理得：。由题设。所求双曲线的离心率e的取值范围是视觉3视AC、AE为点C、E到焦点A的距离，由焦半径公式得：而AC、AE同号，从而所以由题设所以双曲线的离心率e的取值范围是这里同是C、E二点，但由于解题转化思想的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法也不同。其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”。2换一种方式去想例3试求常数m的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分。分析本题看上去并不难，就两句话，但真做起来却不容易，难在习惯的思维方式难以直接将“所有弦都不能被直线垂直平分”的题意转化为数学关系式。因此，解决本题的关键是换一种方式去想，这里从正面思考遇到困难，应从反面去探索。“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围，”再求出m取值集的补集即为原问题的解。解设抛物线上两点关于直线对称，于是有：消去得：因为存在使上式恒成立，所以即恒成立，因为恒成立，所以，所以时，抛物线上存在两点关于直线对称。所以当的所有弦都不能被直线垂直平