广西高考数学一轮复习 考点规范练55 几何概型 文-人教版高三全册数学试题.docx

考点规范练55几何概型一、基础巩固1.若在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-2x2≥4的概率是()A.12B.13C.25D.35答案D解析因为2x-2x2≥4,所以x2-x-2≤0,即-1≤x≤2,所以所求概率为2-(-1)4-(-1)=35.2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8答案B解析所求概率为S半圆S长方形=12π·122×1=π4,故选B.3.(2018湖南衡阳二模)“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为()A.1213B.113C.314D.213答案B解析设水深为x尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.某人从甲地去乙地共走了500m,途经一条宽为xm的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为()A.80mB.50mC.40mD.100m答案D解析由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为500×1-45=100(m).5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案C解析如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.6.有一个长、宽分别为50m,30m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出152m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A.34B.38C.3π16D.12+3π32答案B解析如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sinπx4的值介于-12与22之间的概率为()A.14B.13C.23D.56答案D解析∵-1≤x≤1,∴-π4≤πx4≤π4.由-12≤sinπx4≤22,得-π6≤πx4≤π4,则-23≤x≤1.故所求事件的概率为1--231-(-1)=56.8.记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.答案59解析由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5].由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.9.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为.答案12π解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界),其面积为2,因此所求概率为24π=12π.10.(2018江西教学质量监测)在圆C:(x-3)2+y2=3上任取一点P,则锐角∠COP<π6(O为坐标原点)的概率是.答案23解析当∠COP=π6时,直线OP的方程为x±3y=0,圆心C到直线OP的距离d=32.又圆C的半径为3,此时弦所对的圆心角为π3,所以所求概率P=1-π3×22π=23.二、能力提升11.在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为()A.34B.23C.12D.13答案C解析要使直线y=kx+52与圆x2+y2=1相交,应满足52k2+1≥1,解得-12≤k≤12,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.故选C.12.(2018山西太原二模)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为15,则图中直角三角形较大锐角的正