广西高考数学一轮复习 考点规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用 文-人教版高三全册数学试题.docx

考点规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B解析A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.2答案B解析由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.3.已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数m等于()A.-4B.4C.-2D.2答案C解析设a,b的夹角为θ,∵|a||b|+a·b=0,∴|a||b|+|a||b|cosθ=0,∴cosθ=-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),∴b=-2a,∴m=-2.4.若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB·(λBA+CA)=0,则实数λ的值为()A.3B.-92C.-3D.-53答案C解析∵BA=(1,2),CA=(4,5),∴CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),λBA+CA=(λ+4,2λ+5).又CB·(λBA+CA)=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.5.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.10答案C解析依题意得,AC·BD=1×(-4)+2×2=0,∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积为12|AC||BD|=12×5×20=5.6.在△ABC中,边AB上的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b答案D解析∵a·b=0,∴CA⊥CB.∵|a|=1,|b|=2,∴AB=5.又CD⊥AB,∴由射影定理,得AC2=AD·AB.∴AD=45=455.∴ADAB=4555=45.∴AD=45AB=45(CB-CA)=45(a-b),故选D.7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|2a-b|a·(a+b)等于()A.-53B.1C.2D.54答案B解析∵a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,∴a·b=2m-2=0,解得m=1,∴a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a·(a+b)=1×3+2×1=5,∴|2a-b|a·(a+b)=55=1.8.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.故选A.9.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB在向量CD方向上的投影为()A.105B.2105C.3105D.4105答案B解析由A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),得AB=(2,2),CD=(-1,3),AB·CD=2×(-1)+2×3=4,|CD|=1+9=10,则向量AB在向量CD方向上的投影为AB·CD|CD|=410=2105.10.(2018江苏苏州调研)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)·c=52,则a,c的夹角大小为.答案120°解析设a,c的夹角为θ.∵a=(1,2),b=(-2,-4),∴b=-2a,∴(a+b)·c=-a·c=52.∴a·c=-52.∴cosθ=a·c|a||c|=-525×5=-12.∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.11.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.解(1)因为|a|=2,|b|