福建省厦门外国语学校2014届高三数学 单元卷十 函数与不等式 理.doc

福建省厦门外国语学校2014届高三数学（理）单元卷十：函数与不等式一、选择题：1.已知i是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（C）A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知是实数集，，则等于（B）3、已知，若，则（A）A、B、C、D、4.设函数，若，则实数a的取值范围是（C）．A．B．C．D．5.在R上定义运算:,则满足的实数的取值范围为（B）A.B.C.D.6．已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则(A)A．B.C.D.7．设等差数列的前项和是，若(N*,且)，则必定有(C)A.，且B.，且C.，且D.，且8.若不等式对任意的恒成恒成立,则实数的取值范围（B）A．(-2,4)B．(0,2)C．[2,4]D．[0,2]9.若方程只有正根，则的取值范围是（B）A或BCD10．已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，．若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为(C)A．或B．或C．或D．二.填空题:11.已知i是虚数单位,复数的虚部是__________.12.已知函数.若不等式的解集为，则实数的值为.13.已知函数,则不等式的解集为__________14.设为坐标原点，，若点满足则取得最小值时，点B的坐标是________.15.若不等式，对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围为．答案：．16.若且则的最大值为________而，三.解答题18.已知的解集为M。（1）求M；（2）当时，证明：解：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝eq\b\lc\{(\a\al(－2x，x＜－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x＞1．))当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M＝(－2，2)．…5分（Ⅱ）当a，b∈M即－2＜a，b＜2，∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)＜0，∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，∴2|a＋b|＜|4＋ab|．…10分19、已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．解：⑴，故．当且仅当，即时上式取等号；⑵由⑴．当且仅当，即时上式取最小值，即．20.已知均为正数，且（Ⅰ）求得值；（Ⅱ）求最小值.解：（Ⅰ）因为且，所以因此所以（Ⅱ）因为因此所以的最小值为.21.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．（Ⅰ）求k的值，并求出的表达式；（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?【解析】（Ⅰ）由，当n＝0时，由题意，可得k＝8，所以．（Ⅱ）由．当且仅当，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．22.已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式；（2）若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．(6分)（Ⅱ）解：．当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：＋0－－0＋↗极大值↘↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得．(6分)23.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。解：（1）的定义域为，（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。（ii）若，而，故，则当时，；当及时，。故在上单调减少，在，上单调增加。（iii）若，即，同理可得在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+œ)上单调增加。（2）考虑函数，则，由于，故，即在上单调增加，从而当时，有，即，故；当时，有。