北京市各区2011年高三数学二模试题分类解析（3） 导数及其应用.doc

PAGE-17-用心爱心专心三、导数及其应用1、（2011丰台二模文11）若，则函数的单调递增区间是（0，π）（开闭均可）．2、（2011海淀二模文14）已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示:①若，则1；②设函数则的大小关系为.（用“<”连接）1、(2011朝阳二模理18)（本小题满分13分）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；（Ⅲ）求函数的极值点.解：（Ⅰ）的定义域为.……………………………1分因为，所以在上是增函数，当时，取得最小值.所以在上的最小值为1.……………………………3分（Ⅱ）解法一：设，……………………………………4分依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立.……………5分注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可……………………………………6分由，即，得，由，即，得，所以，所以实数的取值范围是.……………………………………8分解法二：，……………………………4分依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立.又因为，所以.……………………………………5分设，所以小于函数在区间的最大值.又因为，由解得；由解得.所以函数在区间上递增，在区间上递减.所以函数在，或处取得最大值.又，，所以，所以实数的取值范围是.……………………………………8分（Ⅲ）因为，令①显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点；……………………………………9分②当时，（ⅰ）当，即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点；……………………………………10分（ⅱ）当，即时，易知，当时，，这时；当或时，，这时；所以，当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.……………………………………12分综上，当时，函数没有极值点；当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.………2、（2011昌平二模理19）.(本小题满分14分)已知函数（）.（Ⅰ）求函数的单调区间;(Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围。解：（I）……2分当即f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（,………4分当，即f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，）……6分（II）得……8分+3……9分………10分……11分……12分即：3、(2011东城二模理18)（本小题共13分）已知函数()．（Ⅰ）若，求证：在上是增函数；（Ⅱ）求在[1，e]上的最小值．（Ⅰ）证明：当时，，当时，，所以在上是增函数．………………5分（Ⅱ）解：，当，．若，则当时，，所以在上是增函数，又，故函数在上的最小值为．若，则当时，，所以在上是减函数，又，所以在上的最小值为．若，则当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．又，所以在上的最小值为．综上可知，当时，在上的最小值为1；当时，在上的最小值为当时，在上的最小值为．…4、（2011丰台二模理18）.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．解：（Ⅰ）∵，∴函数的定义域为．………………1分∴．………………3分∵在处取得极值，即，∴．………………5分当时，在内，在内，∴是函数的极小值点．∴．………………6分（Ⅱ）∵，∴．………………7分∵x∈，∴，∴在上单调递增；在上单调递减，………………9分①当时，在单调递增，∴；………………10分②当，即时，在单调递增，在单调递减，∴；………………11分③当，即时，在单调递减，∴．………………12分综上所述，当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是5、（2011海淀二模理18）(本小题共14分）已知函数..（I）当时，求曲线在处的切线方程（）；（II）求函数的单调区间.解：（I）当时，，，………………………2分所以，，………………………4分所以曲线在处的切线方程为.………………………5分（II）函数的定义域为，…………………………6分①当时，，在上，在上所以在上单调递增，在上递减；……………………………………………8分②当时，在和上，在上所以在和上单调递增，在上递减；………………………10分③当时，在上且仅有，所以在上单调递增；……………………………………………12分④当时，在和上，在上所以在和上单调递增，在上递减………6、（2011顺义二模理18）.（本小题满分13分）设函数。若函数在处取得极值，求的值；若函数在区间内单调递增，求的取值范围；在（1）的条件下，若为函数图像上任意一点，直线与的图像切于点P，求直线的斜率的取值范围。解（1）由题意得，即，所以……………………………3分（2）当，函数在区间内不可能单调递增………….4分当时，则当时，，函数单调递增，故当且仅当时，函