广东广雅中学2009届高三上学期期中考理科数学答案.doc

广东广雅中学2008—2009学年度上学期高三期中考试（11月考）（2008-11-6）理科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.题号12345678答案DBCADBDA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9.10.11.12.13.14.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.15.(本小题满分12分)解：(1)…………2分…………4分.…………5分∴当时，取得最大值.…………6分由，得，∴的单调递增区间为.…………8分(2)由，得.…………9分由，得，则，…………11分即.∴使不等式成立的的取值集合为.…………12分16.(本小题满分12分)解：(1)由的图象过点，可知，得.…………1分又∵，由题意知函数在点处的切线斜率为，∴且，即且，解得.…………5分∴.…………6分(2)由恒成立，得恒成立，令，则.…………7分令，则，，…………10分当且仅当，即时，.…………11分∴，即的取值范围是.…………12分17.(本小题满分14分)解：(1)由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且.…………2分∴，即四棱锥的体积为.…………4分ABCDPEF(2)不论点在何位置，都有.…………5分证明如下：连结，∵是正方形，∴.…………6分∵底面，且平面，∴.…………7分又∵，∴平面.…………8分∵不论点在何位置，都有平面.∴不论点在何位置，都有.…………9分(3)解法1：在平面内过点作于，连结.∵，，，∴Rt△≌Rt△，从而△≌△，∴.∴为二面角的平面角.…………12分在Rt△中，，又，在△中，由余弦定理得ABCDPExyz，…………13分∴，即二面角的大小为.…………14分解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系.则，从而，，，.…………10分设平面和平面的法向量分别为，，由，取.…………11分由，取.…………12分设二面角的平面角为，则，…………13分∴，即二面角的大小为.…………14分18.(本小题满分14分)ABCDEFMHG方法一：(1)证法一：取的中点，连.∵为的中点，∴且.…………1分∵平面，平面，∴，∴.…………2分又，∴.…………3分∴四边形为平行四边形，则.…………4分∵平面，平面，∴平面.…………5分证法二：取的中点，连.∵为的中点，∴.…………1分∵平面，平面，∴.…………2分又，∴四边形为平行四边形，则.…………3分∵平面，平面，∴平面，平面.又，∴平面平面.…………4分∵平面，∴平面.…………5分(2)证：∵为等边三角形，为的中点，∴.…………6分∵平面，平面，∴.…………7分又，故平面.…………8分∵，∴平面.…………9分∵平面，∴平面平面.…………10分(3)解：在平面内，过作于，连.∵平面平面，∴平面.∴为和平面所成的角.…………12分设，则，，Rt△中，.∴直线和平面所成角的正弦值为.…………14分方法二：设，建立如图所示的坐标系，则.…………2分∵为的中点，∴.…………3分(1)证：，…………4分∵，平面，∴平面.…………5分(2)证：∵，…………6分∴，∴.…………8分∴平面，又平面，∴平面平面.…………10分(3)解：设平面的法向量为，由可得：，取.…………12分又，设和平面所成的角为，则.∴直线和平面所成角的正弦值为.…………14分19.(本小题满分14分)解：(1)依题设，，即.…………2分令，则，有，得.…………4分即，得.∴.…………5分(2)，则，即，…………6分两边取倒数，得，即.…………7分∴数列是首项为，公差为的等差数列.…………8分∴.…………9分(3)∵，…………10分∴.∴.①当为偶数时，.…………12分②当为奇数时，.综上，.…………14分20.(本小题满分14分)(1)解法一：由，得，∴数列是常数列，，即，得.∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，故数列的通项公式为.…………5分解法二：由，得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴.∴（*）当时，也适合（*），故数列的通项公式为.…………5分解法三：由，得，.∴是常数列，是首项为，公比为的等比数列.∴，且.由上式联立消去，解得：为数列的通项公式.…………5分解法四：由已知，有，，，从而猜想：.下用第二数学归纳法证明：①当时，结论显然成立.②假设当和时结论成立，即，，则当时，，即当时结论也成立.综上，数列的通项公式为.…………5分(2)解：.设，①.②①②得：，∴.故.…………9分(3)证：.∵不等式对成立，令，得，即.于是.∴.…………14分