4 数列求和课件 (理) 新人教A版 课件.ppt

第四节数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.常用数列求和的方法1．公式法直接应用等差数列等比数列的求和公式以及正整数的平方和公式立方和公式等公式求解．2．倒序相加法如果一个数列{an}与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和可采用把正着写和倒着写的两个式子相加就得到一个常数列的和进而求出数列的前n项和．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的此时可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an的两边同乘以公比q得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq两式错位相减整理即可求出Sn.4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差在求和时一些正负项相互抵消于是前n项和就变成了首尾少数项之和．5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成则求和时可用分组求和法分别求和而后相加减．1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1(4n－3)则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400解析：S100＝(1－5)＋(9－13)＋…＋{[4(100－1)－3]－(4×100－3)}＝50×(－4)＝－200.答案：B2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－2热点之一分组求和法求和若数列an＝bn±cn且数列{bn}、{cn}为等差数列或等比数列常采用分组转化法求数列{an}的前n项和即先利用等差或等比数列的前n项和公式分别求{bn}和{cn}的前n项和然后再求{an}的前n项和．[例1]已知函数f(x)＝2x－3x－1点(nan)在f(x)的图象上an的前n项和为Sn.(1)求使an<0的n的最大值．(2)求Sn.[课堂记录](1)依题意an＝2n－3n－1∴an<0即2n－3n－1<0.当n＝3时23－9－1＝－2<0当n＝4时24－12－1＝3>0∴2n－3n－1<0中n的最大值为3.热点之二裂项相消法求和1．利用裂项相消法求和时应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项也有可能前面剩两项后面也剩两项再就是将通项公式裂项后有时候需要调整前面的系数使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．热点之三错位相减法求和1．一般地如果数列{an}是等差数列{bn}是等比数列求数列{an·bn}的前n项和时可采用错位相减法．2．用乘公比错位相减法求和时应注意(1)要善于识别题目类型特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．特别警示：利用错位相减法求和时转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)则应先对参数加以讨论一般分为等于1和不等于1两种情况来分别求和．热点之四数列求和的综合应用1．数列求和与函数、三角、不等式等知识相结合命题是近几年高考考查的热点也是考查的重点与三角相结合要明确三角函数自身的性质如周期性单调性等尤其周期性是题目中的隐含条件要善于挖掘这也是解决三角与数列综合问题的关键．2．数学思想的应用也是数列综合题的一大特色分类讨论数形结合函数与方程以及化归思想在数列中常有考查应引起足够的重视．即时训练已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an＋n2－3n－2n＝123….(1)求证：数列{an－2n}为等比数列；(2)设bn＝an·cosnπ求数列{bn}的前n项和Pn.(1)证明：令n＝1则S1＝2a1＋1－3－2∴a1＝4.又Sn＝2an＋n2－3n－2①则Sn＋1＝2an＋1＋(n＋1)2－3(n＋1)－2②由②－①得an＋1＝2an＋1－2an＋2n－2即an＋1＝2an－2n＋2从近两年高考考题来看裂项相消法与错位相减法求和是考查的重点题型以解答题为主考查较为全面往往和其他知识相结合命题在考查基本运算、基本概念的基础上同时考查学生分析问题和解决问题的能力．[例5](2010·课标全国)设数列{an}满足a1＝2an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)由已知当n≥1时an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.1．(2010·四川高考)已知等差数列{an}的前3项和为6前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0n∈N*)求