高考数学总复习 6.6 不等式的应用夯实基础 大纲人教版 试题.doc

6.6不等式的应用巩固·夯实基础一、自主梳理1.运用均值不等式求最值最常见的有两类：(1)已知某些变量(正数)的积为定值求和的最小值.公式：a+b≥2公式中条件是①a、b∈R+;②积ab为定值;③a=b时取等号.(2)已知某些变量(正数)的和为定值求积的最大值.公式：ab≤()2≤上述公式中等号成立的条件是a=b.2.某些函数单调性的判断往往渗透着不等式性质的应用而单调性定义证明函数单调性也就是证明不等式.3.求函数定义域往往直接归结为解不等式或不等式组；求函数值域的常用方法是：(1)用均值不等式；(2)利用单调性；(3)配方法；(4)换元法.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最大最小值问题都与不等式有密切关系；高考中的应用问题多数可归结为不等式问题这些问题大致分为两类：一类是建立不等式解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值.函数求最值的常见途径有：(1)利用几何意义；(2)利用判别式；(3)利用变量的有界性；(4)建立函数单调性；(5)利用均值不等式等.二、点击双基1.(理)函数y=(x>-1)的图象最低点坐标是()A.(12)B.(1-2)C.(11)D.(02)解析：y==(x+1)+≥2.此时x=0.答案：D(文)已知a>b>c>0若P=Q=则（）A.P≥QB.P≤QC.P>QD.P<Q解析：特殊值检验.a=3b=2c=1.P=Q=1P<Q.答案：D2.如果|x-|≥那么sinx的取值范围是()A.［-］B.［-1］C.［-］D.［-］∪(1)解析：易知|x-|≤且x-≠0得-≤x≤且x≠.答案：D3.若a、b、c、d均为实数使不等式>>0和ad<bc都成立的一组值(a、b、c、d)是______________________________.(只要写出适合条件的一组值即可)解析：只需保证a、b、c、d的值满足a、b同号c、d同号且满足其他条件即可.答案：(21-3-2)4.设x、y是正实数且x+y=5则lgx+lgy的最大值是_______________________.解析：∵x>0y>05=x+y≥2∴xy≤()2.当且仅当x=y=时等号成立.故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2.答案：2-4lg2诱思·实例点拨【例1】为了竖一块广告牌要制造三角形支架.三角形支架如图要求∠ACB=60°BC长度大于1米且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固要求AC的长度越短越好求AC最短为多少米？且当AC最短时BC长度为多少米？解：设BC=a(a>1)AB=cAC=bb-c=.c2=a2+b2-2abcos60°将c=b-代入得(b-)2=a2+b2-ab化简得b(a-1)=a2-.∵a>1∴a-1>0.b===(a-1)++2≥+2.当且仅当a-1=时取“=”即a=1+时b有最小值2+.【例2】函数y=的最大值为4最小值为-1求常数a、b的值.剖析：由于函数是分式函数且定义域为R故可用判别式法求最值.解：由y=去分母整理得yx2-2ax+y-b=0.①对于①有实根的条件是Δ≥0即(-2a)2-4y(y-b)≥0.∴y2-by-a2≤0.又-1≤y≤4∴y2-by-a2=0的两根为-1和4.∴解得或讲评：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.链接·拓展已知x、y∈R+且+=1求x+y的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发你能解下列问题吗？已知a、b是正常数a+b=10又x、y∈R+且+=1x+y的最小值为18.求a、b的值.略解:x+y=(x+y)(+)=10++≥10+2=18.当且仅当=时取等号.由解得∴当x=6y=12时x+y的最小值为18.同上题x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2.由得或【例3】(1)已知a、b是正常数a≠bx、y∈(0+∞)求证：+≥并指出等号成立的条件;(2)利用(1)的结论求函数f(x)=+［x∈(0)］的最小值并指出取最小值时x的值.(1)证明：+-===≥0.∴+≥当且仅当ay=bx时取等号.(2)解：f(x)=+=+≥=25.