高考数学总复习 6.2 不等式的证明一夯实基础 大纲人教版 试题.doc

6.2不等式的证明(一)巩固·夯实基础一、自主梳理1.比较法又分为作差比较和作商比较作商比较多用于都是正数、单项情况下比值与1比较.作差比较最常用作出差后往往要用因式分解或配平方两种方法有时还要讨论.含方根的式子大小比较时常要将它们平方或立方再比较其根据是:若p>q>0则>p2>q2;若m>n则m3>n3>.2.分析法:从求证的不等式出发逐步寻求使不等式成立的条件直至所需条件被确认成立就断定求证的不等式成立这种证明方法叫分析法.分析法的思想是“执果索因”即从求证的不等式出发探求使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.采用分析法证明不等式时常用“”的符号有时若为充要条件时也常用“”的符号.证明过程常表现为“要证……只要证……”.3.综合法就是从已知或已证明过的不等式出发根据不等式的性质推导出欲证的不等式综合法往往是分析法的逆过程表述简单条理清楚故证明时往往先用分析法分析再用综合法书写.二、点击双基1.(理)若a、b是正数则、、、这四个数的大小顺序是…()A.≤≤≤B.≤≤≤C.≤≤≤D.≤≤≤解析:可设a=1b=2则======.答案:C(文)下列不等式恒成立的有()A.若a、b都是正数>B.tanα+cotα≥2C.a、b、m是正数则>D.+<4解析:易知A、B、C不恒成立对于D两边平方即可.答案:D2.(2010江苏南京期末)若实数xyz满足x2+y2+z2=1则xy+yz+zx的取值范围是()A.［-11］B.［-1］C.［-1］D.［-］解析:∵xy+yz+zx≤++=x2+y2+z2=1又∵2(xy+yz+zx)=(x+y+z)2-(x2+y2+z2)≥0-1=-1∴xy+yz+zx≥-.故选择B.答案:B3.(上海春季高考)若a、b、c是常数则“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R有ax2+bx+c>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a>0b2-4ac<0时ax2+bx+c>0.反之ax2+bx+c>0对x∈R成立不能推出a>0b2-4ac<0.反例:a=b=0c=2.故选A.答案:A4.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为__________________________________________.解析:设甲地至乙地的距离为s船在静水中的速度为v2水流速度为v(v2＞v＞0)则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t=+=平均速度v1==.∵v1-v2=-v2=-＜0∴v1＜v2.答案:v1＜v2诱思·实例点拨【例1】设a>b>cn∈N试求使不等式+≥成立的n的最大值.剖析:原不等式可转化为+≥n恒成立.只要求出+的最小值即可.解:+=+=2++≥4当且仅当=即b-c=a-b即2a=a+c取等号.要使+≥n恒成立只需n≤4.故n的最大值为4.链接·拓展设a>b>c>dn∈N求使不等式++≥成立的n的最大值.答案:n的最大值为9.【例2】已知a、b、x、y∈R+且＞x＞y.求证：＞.剖析:观察待证不等式的特征用比较法或分析法较适合.证法一:（作差比较法）∵-=又＞且a、b∈R+∴b＞a＞0.又x＞y＞0∴bx＞ay.∴＞0即＞.证法二:(分析法)∵x、y、a、b∈R+∴要证＞只需证明＞即证xb＞ya.而由＞＞0∴b＞a＞0.又x＞y＞0知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.链接·聚焦该例若用函数的单调性应如何构造函数?解法一:令f(x)=易证f(x)在(0+∞)上为增函数从而>.再令g(x)=易证g(x)在(0+∞)上单调递减.∵>a、b∈R+∴a<b.∴g(a)>g(b)即>命题得证.解法二:原不等式即为>为此构造函数f(x)=x∈(0+∞).易证f(x)在(0+∞)上为单调增函数而>∴>即>.【例3】某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6t每吨面粉的价格为1800元面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉才能使平均每天所支付的总费用最少?(2)若提供面粉的公司规定:当一次