高考数学 易错点点睛与高考突破 专题02 函数和反函数 试题.doc

2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题02函数和反函数1．已知定义域为[01)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[01]总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0x2≥0x1+x2≤1则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求函数f(x)的最大值．2．设f(x)是定义在(0+∞)上的函数k是正常数且对任意的x∈(0+∞)恒有f[f(x)]=kx成立．若f(x)是(0+∞)上的增函数且k=1求证：f(x)=x．(2)对于任意的x1、x2∈(0+∞)当x2>x1时有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立如果k=2证明：＜＜．难点2综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题1．设f(x)是定义在[-11]上的偶函数．当x∈[-10]时f(x)=g(2-x)且当x∈[23]时g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a＞6)使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上若存在求出正实数a的值；若不存在请说明理由．【解析】(1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a．【答案】(1)当x∈[-10]时2-x∈[23]f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax得f(x)=4x3-2ax(x∈[-10])2．函数y=f(x)是偶函数且是周期为2的周期函数当x∈[23]时f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B它们的纵坐标相等横坐标都在区间[13]上定点C的坐标为(0a)(其中a＞2)求△ABC面积的最大值．当>2即a>3时函数S在[12]上单调递增∴S有最大值S(2)=a-2．难点3反函数与函数性质的综合1．在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈MR+函数值f(x)的集合为[02]且f()=1；又对M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)．(1)求证：∈M而M；(2)证明:f(x)在M上的反函数f-1(x)满足f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2)．(3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤(x∈[02])．【解析】由给定的函数性质证明自变量x是属于还是不属于集合"最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．【答案】(1)证明：∵∈M又=×f()=1．∴f()=f(×)=f()+f()=1+1=2∈[02]∴∈M【学科思想与方法】2.函数中的数形结合思想“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中可以先根据题意做出草图然后参照图形的作法、形状、位置、性质并综合图象的特征得出结论．【例1】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gx＋x＋4x<gxgx－xx≥gx))则f(x)的值域是()．【变式】函数y＝eq\f(11－x)的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()．A．2B．4C．6D．8解析：令1－x＝t则x＝1－t.【易错点点睛】易错点1函数的定义域和值域1．(2013模拟题精选)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)y=g(x)规定：函数h(x)=(1)若函数f(x)=g(x)=x2写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．【错误答案】(1)∵f(x)的定义域Df为(-∞1)∪(1+∞)g(x)的定义域Dg为2．(2013模拟题精选)记函数f(x)=的定义域为Ag(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.(1)求A；(2)若BA求实数a的取值范围．3．(2013模拟题精选)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M函数g(x)=的定义域为集合N．求集合MN；集合M∩N．M∪N.∴x≥3或x<1．∴N={x|x≥3或x<1}．【特别提醒】对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围必须对字母酌取值情况进行讨论特别注意定义域不能为空集。2．求函数的值域不但要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域对值域的制约作用．【变式探究】1若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R则实数a的取值范围是()A．(0+∞)B．(02)C．(-∞2)D．(-∞0)答案：D解析：∵4-a2已知函数f(x)