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模块检测一、选择题1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案B解析由题意，得b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－a×2a,2a×2a)＝eq\f(3,4)，故选B.2．当x>1时，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]答案D解析∵x>1，∴x＋eq\f(1,x－1)＝(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋1≥2eq\r(x－1·\f(1,x－1))＋1＝3.∴a≤3.3．等差数列{an}满足aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,7)＋2a4a7＝9，则其前10项之和为()A．－9B．－15C．15D．±15答案D解析aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,7)＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9，∴a4＋a7＝±3，∴a1＋a10＝±3，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝±15.4．在△ABC中，BC＝2，B＝eq\f(π,3)，当△ABC的面积等于eq\f(\r(3),2)时，sinC＝()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),4)答案B解析由三角形的面积公式，得S＝eq\f(1,2)AB·BCsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·coseq\f(π,3)，得AC＝eq\r(3)，再由三角形的面积公式，得S＝eq\f(1,2)AC·BCsinC＝eq\f(\r(3),2)，即可得出sinC＝eq\f(1,2)，选B.5．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案A解析∵lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，∴lgeq\f(sinA,cosBsinC)＝lg2.∴sinA＝2cosBsinC，∵A＋B＋C＝180°，∴sin(B＋C)＝2cosBsinC，∴sin(B－C)＝0.∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形．6．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)答案B解析∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0.∴－2<x<1.7．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A．1<x<3B．x<1或x>3C．1<x<2D．x<1或x>2答案B解析设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0，恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝x2－3x＋2>0,g－1＝x2－5x＋6>0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1或x>2,x<2或x>3))⇔x<1或x>3.8．若变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤40，,x＋2y≤50，,x≥0，,y≥0.))则z＝3x＋2y的最大值是()A．90B．80C．70D．40答案C解析作出可行域如图所示．由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－eq\f(1,2)，而3x＋2y＝0的斜率为－eq\f(3,2)，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.9．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为()A．[2,8]B．(2,8)C．(4,8)D．(1,7)答案A解析设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10