对一道中考题的思考.docx

对一道中考题的思考题目（雪梅老师提供）：易知①和②选项正确。选项③分析如下：由x1x2=-2n可知有一根为偶数，再由x1+x2=-2m可知两根都是偶数，结合题意可知两根都是负偶数，所以2n是4的倍数，同理对y1y2=-2m和y1+y2=-2n分析可知2m是4的倍数，所以m和n都是正偶数。由此也可得出选项②正确。问题来了，既然m和n都是正偶数，那怎么可能有-1≤2m-2n≤1呢？因为若-1≤2m-2n≤1则I2(m-n)I≤1,怎么可能?第一直觉是不可能。但后来看看题目再想想，根据中国数学会理事、著名特级教师孙维刚老师的观点-----站在哲理的高度、站在思想的高度进行观察进行思考，用广义对称的思想去分析，应该有m=n，那么-1≤2m-2n=0≤1。现在来证明m=n。证法1：由求根公式可得x=≤-2，所以≤m-2,可得2m-n≤2，同理由y=≤-2可得2n-m≤2，两式相加可得m+n≤4，因为m和n都是正偶数，所以只能m=n=2.证法2：假设m≠n，设m>n，令p=2m,q=2n,则p和q都是4的倍数,p≥q+4,由题意知x2+px+q可分解为（x+a）(x+),a和都是正偶数，a+=p。我们知道，当a取2时，a+的值最大，理由是：-=≤a-2，所以+2≥a+。又因为+2<q+1<q+4≤p，所以a+≤+2<p，这与前面假设所得的a+=p矛盾，所以有m=n。由根是整数可知m2-2n=m2-2m是一个平方数，令m=2k,则4k2-4k=4k(k-1)是一个平方数,所以k(k-1)是一个平方数，所以k=1，即m=n=2.从上面分析可知，参考答案对选项③的分析明显是错误的。解出来后总觉得有点不太对劲，觉得这道题出得不太好，虽然不像刘强老师提供的下面这道中考题犯了科学性的错误（第3小题条件与题干所给条件相矛盾），但是：1.m和n竟然是常数；2.综合利用了一元二次方程的有关知识和不等式还有简单的数论知识；3.根据《新课标》第（9）条“*了解一元二次方程的根与系数的关系”可知，一元二次方程的根与系数的关系是不作考试要求的，更加不用说掌握和灵活运用了。若是从考试的能力立意来说，若要考一元二次方程的根与系数的关系，个人认为可设为探究题，从特殊到一般，经计算、观察、猜想然后再推理证明，考查学生的合情推理与演绎推理能力。但这节内容有些学校（应该比较多吧）学过有些没学，有些班学有些班不学，公平性无法保证，所以，若要考应该怎么出题还需要一番考虑。由此，我们应该好好学习课标，出题要仔细思量，要出好题。