一道中考题的思考.doc

中考与竞赛辅导山东省沂源县悦庄一中256102赵洪涛一提起竞赛，大部分数学教师认为，要有专门的教材进行辅导，对专门的学生进行辅导。做竞赛题更是参加竞赛学生的专利，在课堂上对竞赛方面的知识、方法，认为学生根本接受不了，就一点也不敢讲，造成了学生一遇到难题就无从下手的局面，学生解题的灵活性、创造性很差。而实际上，竞赛辅导就是一种思维的训练，任何同学都会有或多或少的提高，题目也是基础知识的综合、数学思想、方法的集中体现。近几年全国各地的竞赛题目（包括全国联赛）的难度，已逐渐地接近中考，只不过是在综合程度、解题方法的灵活性、解答的创造性上提出了高一点的要求。因此竞赛辅导要从课堂教学入手，强化知识的理解和综合应用。2002年北京市海淀区数学中考压轴题就给我们一种启示，教师要把所谓竞赛的思维训练放于课堂之上，现结合此中考题说明如下：已知：二次函数y=x2－kx＋k＋4的图象与y轴交于点C，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数，个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；若点D的坐标是（0，6），点P（t，0）是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD面积为S，求S与t的函数关系式；若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。解：（1）依题意可设A（a，0），B（b，0）。令y=0，则a、b是x2－kx＋k＋4=0的两根。于是△=(－k)2－4(k＋4)=k2－4k－16=(k－2)2－20＞0，且a＋b=k。因为a、b是不等的正整数，所以k为正整数，且(k－2)2－20是一个整数的平方。设(k－2)2－20=m2(m是整数)，所以(k－2)2－m2=20。注意到k－2＋m与k－2－m是奇、同偶的两数且20是偶数。k－2＋m=10k－2＋m=－2所以k－2－m=2k－2－m=－10k－2＋m=2k－2＋m=－10k－2－m=10k－2－m=－2k=8k=－4k=8k=－4解得：m=4m=4m=－4m=4所以k=8，所以这个二次函数的解析式为y=x2－8x＋12,可求得它的顶点坐标为（4，－4）。（2）、（3）解答略。本例中第（1）小题需用到三方面的竞赛知识点：一是求方程的整数根问题；二是整除问题；三是整数的奇偶性问题。在竞赛试题中，有很多类似的试题。例1：当m是什么整数时，关于x的方程x2－(m－1)x＋m＋1=0的两根都是整数？(1994年福州市赛题)解：设方程的两整数根分别为x1，x2。依韦达定理，x1＋x2=m－1①；x1·x2=3②②－①得：x1·x2－x1－x2=2，即x1·x2－x1－x2＋1=3，所以（x1－1）(x2－1)=3，x1、x2为整数,可见x1－1=±1，±3，则x1=2，0，4，－2；并相应地求得x2=4，－2，2，0；由此x1·x2=8或0，分别代入②得：m=7或m=－1；所以当m=7或m=－1时方程两根均为整数。由本题解法可给出海淀区试题的解法二：解：设抛物线y=x2－kx＋k＋4的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），则x1＞0，x2＞0，x1、x2为整数；故x1、x2是方程x2－kx＋k＋4=0的两根，依韦达定理，x1＋x2=k①；x1·x2=k＋4②；②－①得：x1·x2－x1－x2=4，即x1·x2－x1－x2＋1=5，所以（x1－1）(x2－1)=5，由x1、x2为整数,可见x1－1=±1，±5，则x1=2，0，6，－4；并相应地求得x2=6，－4，2，0；由此x1·x2=12或0（因x1＞0，x2＞0，故x1·x2=k＋4＞0，所以x1·x2=0舍去），代入②得：k=8，所以这个二次函数的解析式为y=x2－8x＋12,可求得它的顶点坐标为（4，－4）。xy＋yz=63例2：方程组的整数解的组数xz＋yz=23是（）（A）1（B）2（C）3（D）4（1995年全国初中数学联赛试题）解：第2个方程即(x＋y)z=23，因x＋y≥2，且23为质数，故z=1，x＋y=23，因此y=23－x，代入第1个方程得（23－x）（x＋1）=63，即x2－22x＋40=0，解得两根为x1=2，x2=20；故方程组的两组解为x1=2，y1=21，z1=1；x2=20，y2=3，z2=1。故选B。例3：1982能写成两个整数的四次方的和吗？若能，要举出实例；若不能，要说明理由。（1982芜湖市初中数学竞赛试题）解：若能，设两整数为x、y，则x4＋y4=1982，因为1982为偶数，所以x、y必同为偶数或同为奇数。如果x、y同为偶数，不妨