中考数学专题复习 存在性问题学案-人教版初中九年级全册数学学案.doc

存在性问题【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算,对基础知识,基本技能要求较高,并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一次全面的考验.【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析.(1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题,进行求解,进而从有解或无解的条件,来判明数学对象是否存在,这是解决此类问题的主要方法.(2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;若导出矛盾,就做出不存在的判断.类型一代数方面的存在性问题典例1(2015·湖北随州)已知两条平行线l1,l2之间的距离为6,截线CD分别交l1,l2于C,D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点C,D重合),直角的两边分别交l1,l2与A,B两点.(1)操作发现:如图(1),过点P作直线l3∥l1,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?为什么?(2)猜想论证:将直角∠APB从图(1)的位置开始,绕点P顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当AE满足什么条件时,以点P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形?在图(2)中画出图形,证明你的猜想.(3)延伸探究:在(2)的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x.试探究,是否存在实数x,使△PAB的边AB的长为4?请说明理由.(1)(2)【全解】(1)如图(1),由题意,得∠EPA+∠APF=90°,∠FPB+∠APF=90°,∴∠EPA=∠FPB.又∠PEA=∠PFB=90°,∴△PEA∽△PFB.(2)如图(2),∵∠APB=90°,∴要使△PAB为等腰三角形,只能是PA=PB.(1)(2)当AE=BF时,PA=PB,∵∠EPA=∠FPB,∠PEA=∠PFB=90°,AE=BF,∴△PEA≌△PFB.∴PA=PB.(3)如图(2),在Rt△PEC中,CP=x,∠PCE=30°,整理,得x2-12x-8=0,解得x=6-2<0(舍去)或x=6+2,∵x=6+2>6+6=12,且CD=12,∴点P在CD的延长线上,这与点P在线段CD上运动相矛盾.∴不合题意.综上,不存在满足条件的实数x.举一反三1.(2015·山东烟台)如图,点A(m,6),B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5.(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式;(2)连接AB,在线段DC上是否存在一点E,使△ABE的面积等于5?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.(第1题)(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;(2)如图,在直线y=x上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.(第2题)【小结】考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称——最短路线问题等知识点,还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,难度较大.类型二点的存在性问题(1)直接写出A,D,C三点的坐标;(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A,B,C,P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(2)根据抛物线的对称性,可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点;再根据三角形的等面积法,在x轴上方,存在两个点,这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离;(3)根据梯形定义确定点P,如图所示:①若BC∥AP1,确定梯形ABCP1.此时P1与D点重合,即可求得点P1的坐标;②若AB∥CP2,确定梯形ABCP2.先求出直线CP2的表达式,再联立抛物线与直线表达式求出点P2的坐标.(3)结论:存在.如图所示,在抛物线上有两个点P满足题意:①若BC∥AP1,此时梯形为ABCP1.由点C关于抛物线对称轴的对称点为B,可知BC∥x轴,则点P1与点D重合,∴P1(-2,0).∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC.∴四边形ABCP1为梯形.②若AB∥CP