中考数学专题复习 存在性问题学案-人教版初中九年级全册数学学案.doc

存在性问题【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题这类问题的知识覆盖面较广综合性较强题意构思非常精巧解题方法灵活对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算对基础知识基本技能要求较高并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题是对我们知识、能力的一次全面的考验.【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析.(1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题进行求解进而从有解或无解的条件来判明数学对象是否存在这是解决此类问题的主要方法.(2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果就做出“存在”的判断;若导出矛盾就做出不存在的判断.类型一代数方面的存在性问题典例1(2015·湖北随州)已知两条平行线l1l2之间的距离为6截线CD分别交l1l2于CD两点一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点CD重合)直角的两边分别交l1l2与AB两点.(1)操作发现:如图(1)过点P作直线l3∥l1作PE⊥l1点E是垂足过点B作BF⊥l3点F是垂足.此时小明认为△PEA∽△PFB你同意吗?为什么?(2)猜想论证:将直角∠APB从图(1)的位置开始绕点P顺时针旋转在这一过程中试观察、猜想:当AE满足什么条件时以点PAB为顶点的三角形是等腰三角形?在图(2)中画出图形证明你的猜想.(3)延伸探究:在(2)的条件下当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时设CP=x.试探究是否存在实数x使△PAB的边AB的长为4?请说明理由.(1)(2)【全解】(1)如图(1)由题意得∠EPA+∠APF=90°∠FPB+∠APF=90°∴∠EPA=∠FPB.又∠PEA=∠PFB=90°∴△PEA∽△PFB.(2)如图(2)∵∠APB=90°∴要使△PAB为等腰三角形只能是PA=PB.(1)(2)当AE=BF时PA=PB∵∠EPA=∠FPB∠PEA=∠PFB=90°AE=BF∴△PEA≌△PFB.∴PA=PB.(3)如图(2)在Rt△PEC中CP=x∠PCE=30°整理得x2-12x-8=0解得x=6-2<0(舍去)或x=6+2∵x=6+2>6+6=12且CD=12∴点P在CD的延长线上这与点P在线段CD上运动相矛盾.∴不合题意.综上不存在满足条件的实数x.举一反三1.(2015·山东烟台)如图点A(m6)B(n1)在反比例函数图象上AD⊥x轴于点DBC⊥x轴于点CDC=5.(1)求mn的值并写出反比例函数的表达式;(2)连接AB在线段DC上是否存在一点E使△ABE的面积等于5?若存在求出点E的坐标;若不存在请说明理由.(第1题)(1)求b的值求出点P、点B的坐标;(2)如图在直线y=x上是否存在点D使四边形OPBD为平行四边形?若存在求出点D的坐标;若不存在请说明理由;(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M使△AMP≌△AMB?如果存在试举例验证你的猜想;如果不存在试说明理由.(第2题)【小结】考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称——最短路线问题等知识点还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想难度较大.类型二点的存在性问题(1)直接写出ADC三点的坐标;(2)若点M在抛物线上使得△MAD的面积与△CAD的面积相等求点M的坐标;(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B在抛物线上是否存在点P使得以ABCP四点为顶点的四边形为梯形?若存在请求出点P的坐标;若不存在请说明理由.(2)根据抛物线的对称性可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点;再根据三角形的等面积法在x轴上方存在两个点这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离;(3)根据梯形定义确定点P如图所示:①若BC∥AP1确定梯形ABCP1.此时P1与D点重合即可求得点P1的坐标;②若AB∥CP2确定梯形ABCP2.先求出直线CP2的表达式再联立抛物线与直线表达式求出点P2的坐标.(3)结论:存在.如图所示在抛物线上有两个点P满足题意:①若BC∥AP1此时梯形为ABCP1.由点C关于抛物线对称轴的对称点为B可知BC∥x轴则点P1与点D重合∴P1(-20).∵P1A=6BC=2∴P1A≠BC.∴四边形ABCP1为梯形.②若AB∥CP2此时梯形为ABCP2.∵点A坐标为(40)点B坐标为(2-3)化简得x2-6x=0解得x1=0(舍去)x2=6∴点P2横坐标为6代入直线CP2表达式求得纵坐标为6.