专题三第1讲 等差数列、等比数列.doc

专题三数列、推理与证明第1讲等差数列、等比数列(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为()A．1或－eq\f(1,2)B．1C．－eq\f(1,2)D．－22．已知等比数列{an}中，a4＋a6＝10，则a1a7＋2a3a7＋a3a9的值等于()A．10B．20C．60D．1003．(2011·大纲全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k等于()A．8B．7C．6D．54．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为()A．2B．3C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为()A．120B．105C．90D．756．(2011·辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16二、填空题7．(2011·湖南)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.8．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式是________．9．(2010·江苏)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq\o\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．10．设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6，若a3，a5，am(m>5)是公比为q(q>0)的等比数列，则m的值为________．三、解答题11．已知数列{an}的首项a1＝a，an＝eq\f(1,2)an－1＋1(n∈N*，n≥2)．若bn＝an－2(n∈N*)．(1)问数列{bn}是否能构成等比数列？并说明理由．(2)若已知a1＝1，设数列{an·bn}的前n项和为Sn，求Sn.12.(2011·大纲全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.13．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81.(1)求数列的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列{eq\f(an－1,2n)}为等差数列，并求an.答案1．A2．D3．D4．D5．B6．B7．258．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1,2n，n≥2))9．2110．1111．解(1)b1＝a－2，an＝bn＋2，所以bn＋2＝eq\f(1,2)(bn－1＋2)＋1，bn＝eq\f(1,2)bn－1.所以，当a≠2时，数列{bn}能构成等比数列；当a＝2时，数列{bn}不能构成等比数列．(2)当a＝1，得bn＝－(eq\f(1,2))n－1，an＝2－(eq\f(1,2))n－1，anbn＝(eq\f(1,4))n－1－2(eq\f(1,2))n－1，所以Sn＝eq\f(1－\f(1,4)n,1－\f(1,4))－2eq\f(1－\f(1,2)n,1－\f(1,2))＝eq\f(4,3)(1－eq\f(1,4n))－4(1－eq\f(1,2n))＝－eq\f(8,3)－eq\f(4,3)·eq\f(1,4n)＋eq\f(4,2n).12．解设{an}的公比为q，由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝3.))当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(31－2n,1－2)＝3(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(21－3n,1－3)＝3n－1.13．(1)解∵an＝2an－1＋2n－1，∴a4＝2a3＋24－1.又a4＝81，∴a3＝33，同理：a2＝13，a1＝5.(2)证明由an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，得eq\f(an－1,2n)＝eq\f(2an－1＋2n－2,2n)＝eq\f(an－1－1,2n－1)＋1，∴eq\f(an－1,2n)－eq\f(a