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专题：函数的值域与最值
一、知识梳理
1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。由于函数的值域受定义域和对应法则的制约，因此求函数的值域必须首先确定函数的定义域.
2、最值：如果函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。
注：、值域与最值的联系与区别：
联系：若函数同时具有最大值b和最小值a，则值域为[a,b]；
区别：凡函数都有值域,但不一定有最值.
3.基本函数的值域
函数解析式定义域值域一次函数二次函数

反比例函数二、求函数值域的常用方法
3求函数值域（最值）的各种方法
因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的故其类型依解析式的特点分可分为三类：(1)求常见函数的值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。但无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域。具体的方法有：
①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合；⑨导数法；⑩判别式。
（一）.求最值时应注意的问题：
（1）求函数最值的方法，实质上与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异。
（2）无论用何种方法求最值，都要考虑“=”能否成立。
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：二次函数或转化为形如类的函数的值域问题，均可用配方法，而后面的函数要注意的范围.
③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
规律方法总结：
求函数值域时要注意以下问题：1.要记住各种基本函数的值域，要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域；2.对各种求函数值域的方法要熟悉，遇到求值域的问题，应注意选择最优解法；3.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的约束作用；4.函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用.
1、利用基本函数求值域
4、与最值有关的“恒成立”的意义：
f(x)≥a恒成立f(x)min≥a，f(x)≤b恒成立f(x)max≤b.
（4）求函数的值域或最值

2、综合分析法——通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.
例1、求函数的值域
解：函数的定义域为.，所以函数的值域为.
3、分离常数法——形如的函数值域可用此法
例2、求函数的值域
解：函数的定义域为，.
，，所以函数的值域为.
4、求反函数法——利用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域.形如的函数值域可用此法.
例3、求函数的值域
解：函数的定义域为，函数的反函数为，所以函数的值域为.（本题利用函数的图象也可得到正确答案）
5、配方法——
例4、求函数的值域
解：，结合函数的图象，易知，当时，.所以函数的值域为.
*例5、求函数的值域
解：，结合函数的图象，易知：
（1）当时，（见图A）
函数的最小值为，
最大值为，函数的值域
为
（2）当时，（见图B）
函数的最小值为，最大值为，函数的值域为

（3）当时，（见图C）
函数的最小值为，
最大值为，函数的
值域为.
（4）当时，（见图D）
函数的最小值为，
最大值为，函数的值域为.
注意：连续函数在闭区间上既有最大值，又有最小值.
练习：已知函数，求在上的最小值.
6、单调性法——通过确定函数在定义域内（或某个定义域的子集上）的单调性求出函数值域的方法为单调性法.
例6.求函数的值域.
解：函数的定义域为.易知，函数在定义域区间上是单调增函数，函数的值域为，即是.
注意：必须确定函数在其定义域在给定区间上是单调的，才能考虑通过定义域端界确定函数的值域.
练习：求函数的单调区间和值域.
7、换元法——运用换元法，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如的函数.
例7..求函数的值域.
解：函数的定义域为.令，则，，代入原函数有：
（请同学们求出值域）.
*8、判别式法——把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域.形如（不同时为0,定义域为R）的函数的值域常用此法求得.
例8.求函数的值域.
解：函数的定义域为R.由，可得（*）.
（1）当时，，故函数可以取得值2.
（2）当时，方程（*）必有解.
所以，解得且