[函数的值域与最值1] 函数的值域和最值.docx

[函数的值域与最值1]函数的值域和最值专题：函数的值域和最值(★)教学目标掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法，如一元二次函数、分式形式及分段函数的函数值域的求解方法。知识梳理常用的求解值域的方法有：（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（2）配方法：适用于与二次函数有关的函数；（3）换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y=ax+ba、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解;（4）分离常数法5min.cad-cbad-cb(ax+b)+cx+dc形如y=的函数可变形为函数y=后求值域；=+ax+bax+baax+b（5）判别式法；（6）图象法.典例精讲1、直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。30min.(-1≤x≤1)例1、求下列函数的值域y=3x+2-3≤3x≤3，分析：∵-1≤x≤1，∴-1≤3x+2≤5，即--1≤y≤5∴，∴函数的值域是[-15]【直接法就是利用常见函数的值域来求函数的值域.】巩固练习1、求f(x)=2+4-x的值域分析：[0,+∞)∴f(x)∈[2,+∞∴函数的值域是[2,+∞).2、配方法：适用于与二次函数有关的函数。例2（★）已知函数y=x2-4x+1，分别求它在下列区间上的值域。（1）x∈R；（2）[3,4]（3）[0,1]（4）[0,5]分析：（1）∵x∈R，∴y≥-3，∴函数的值域是[-3,+∞).（2）∵x∈[3,4]时，图象在对称轴右边，图象递增.∴x=3时，ymin=-2；x=4时，ymax=1；∴在[3,4]上，函数的值域为[-2,1].（3）∵x∈[0,1]时，图象在对称轴左边，图象递减.∴x=0时，ymax=1；x=1时，ymin=-2,∴在x∈[0,1]上，函数的值域为[-2,1].（4）∵x∈[0,5]时，图象含抛物线顶点，∴ymin=-3而当x=0时，y=1；x=5时，y=6,∴ymax=6∴在x∈[0,5]上，函数的值域为[-3,6].【配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给的x取值范围，结合函数的图象求得函数的值域..】巩固练习1、求函数y=-x2+4x+2（x∈[-1,1]）的值域。(开口方向；区间与对称轴的关系)分析：有二次函数的图像得该函数的值域为[-2,5]3、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y=ax+ba、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。例3（★）求函数y=2x+4-x的值域2分析：设t=则t≥0x=1-t代入得y=f(t)=2⋅(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4∵t≥0∴y≤4∴函数的值域为[-∞,4]【换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域..】巩固练习1、（★）求函数y=2x1-t2分析：(求值域先求定义域)令t=t≥0）（引入新元要标注范围），则x=，25（t≥0）4135∵当t=，即x=时，ymax=，无最小值。2845∴函数y=2x(-∞,]。42、（★）求y=2x－322∴y=-t+t+1=-(t-)+12分析：(求值域先求定义域)令t=t≥0（引入新元要标注范围），且2x＝(13－t2)，y＝－t2＋t＋＝t－(t－1)＋4≤（4t≥0），（这里最好利用数形结合法）2y∈（－∞，4].4、分离常数法cad-cbad-cb(ax+b)+cx+dc形如y=的函数可变形为函数y=后求值域.=+ax+bax+baax+b5x+4例4、（★）求函数y=的值域。x-15x+45(x-1)+99==5+分析：y=，x-1x-1x-19≠0∴y≠5∵x≠1∴x-1∴函数值域为(-∞,5)【形如y=．巩固练习1、（★）求函数y=(5,+∞)．cx+dc(c≠0,bc≠ad)的值域为{y|y≠.】ax+ba1-x的值域。2x+5177-(2x+5)+1-x=-1+，分析：（此处要先求定义域）∵y==2x+52x+522x+5711-x1∵≠0，∴y≠-，∴函数y=的值域为{y|y≠-.22x+522x+55、判别式法：x2-x+1例5、（★）求函数y=2值域x+x+1分析：∵x+x+1=(x+)+212233≥>0，44∴函数的定义域为R，原式可化为y(x2+x+1)=x2-x+1,整理得(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0，若y=1,即2x=1,则x=1；若y≠1,∵x∈R，即有∆≥0，∴(y+1)2-4(y-1)2≥0,解得1≤y≤3且y≠1.3综上：函数是值域是[,3].【判别式法一般用于分式函数，其定义域应为R，其分子或分母只能为二次式，且分子、分母没有公因式..】巩固练习