高考数学导数题型归纳.pdf

导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x，)f(x在区间)D上的导数为g(，若在区间x)D上，x4mx33x2g(x)0恒成立，则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x)1262（1）若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足m2的任何一个实数m，函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大值.x4mx33x2x3mx2解:由函数得f(x)f(x)3x126232g(x)x2mx3（1）yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，则在区间g(x)[0,3]x2上恒成立mx30解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)0g(0)030m2g(3)093m30解法二：分离变量法：∵当x0时,g(x)x2mx330恒成立,当0x时3,g(x)x2mx3恒成立0x233等价于mx的最大值（0x3）恒成立，xx3而h(x)x（0x3）是增函数，则h(x)h(3)2xmaxm2(2)∵当m2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当m2时g恒成立(x)x2mx301解法三：变更主元法再等价于F(m)mxx230在m2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）F(2)02xx2301x12F(2)02xx30ba2-221例2：设函数f(x)x32ax23a2xb(0a1,bR)3（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的x[a1,a2]不等式,f(x)恒成立，求aa的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）f(x)x24ax3a2x3axa0a1f(x)a3aa3a令f(x)0,得f(x)的单调递增区间为（a,3a）令f(x)0,得f(x)的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）33∴当x=a时，f(x)极小值=ab;当x=3a时，f(x)极大值=b.4（Ⅱ）由|f(x)|≤a，得：对任意的x[a1,a2],ax24ax3a2a恒成立①gmax(x)a22则等价于g(x)这个二次函数g(x)x4ax3a的对称轴x2a0a1,gmin(x)aa1aa2a（放缩法）即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x)x24ax3a2、[a1,a2]上是增函数.（9分）g(x)g(a2)2a1.∴maxg(x)ming(a1)4a4.a1,a2于是，对任意x[a1,a2]，不等式①恒成立，等价于x2a2g(a2)4a4a,4、、a1.g(a1)2a1a54又0a1,∴a1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3，t6g(x)x3x2(t1)x3(t0)2（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）当x[1,4]时，求f(x)的值域；（Ⅲ）当x[1,4]时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围。//2f(1)3a3解：（Ⅰ）f(x)3x2ax∴，解得b1ab2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[1,0]上单