竞赛解答题选讲.doc

竞赛解答题精选（2012.4）
1．已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。
解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a
要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有
解之得，
2、已知a，b，c都是整数，当代数式的值能被13整除时，那么代数式的值是否一定能被13整除，为什么？
解：设x，y，z，t是整数，并且假设①
比较上式a，b，c的系数，应当有

②

取，可以得到，，，则有
③
既然和都能被13整除，就能被13整除.
【说明】表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取，则有，，，则有；
实际上，②是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到
，，这里k是任意整数，
将代入其余方程，解得，，这里k是任意整数，
则可以有.
3、如图5所示，在四边形ABCD中，，，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为，和，求=？（提示：连接AE、EN、NC和AC）

解：如图5a，连接AE、EN和NC，易知
由，两个式子相加得①
并且四边形AECN的面积=.
连接AC(如图5b)由三角形面积公式，易知，，两个式子相加得
S四边形AECN=②
将①式和②相加，得到，
既然，，因此，.

图5b

4、已知是正整数，且与都是完全平方数.是否存在，使得是质数？如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由.
解：不存在正整数，使得是质数。理由如下：
设，，其中，都是正整数，则
.
若，则不是质数；若，则
于是，矛盾.
综上所述，不存在正整数，使得是质数.
5、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33倍。问这家原来的电话号码是多少？
解：设原电话号码为，则升位后为，令，
∴，即，
化简得，的整数），
故，，∴.
于是.
故所求的电话号码为859375.
6、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）
解答：
（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法.因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形.但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造个不同的三角形.
（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形.
（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母.这里不同的英文大写字母仅有6个.因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A.根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同.但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母.所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边.
又显然，，和这4个三角形两两没有公共边.所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边.
7、请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由.
解：
（1）由于，故有.所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）.
（2）不妨设，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足
由，则有，从而,所以.
又有，所以，故或16.
若，则有，由于，并且，
所以，.
故，100或121.将、100和121分别代入，没有一个是完全平方数，说明当时，无解.
若，则.类似地，可得：，即，
此时，不是整数.
综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和.
8、甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了.已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？
解：让我们画两个示意图(上图)，并设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a。再设跑道长是L，则甲