初中数学竞赛专题选讲《解三角形》.doc

初中数学竞赛专题选讲解三角形一、内容提要1.由三角形的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2.解直角三角形所根据的定理(在Rt△ABC中∠C=Rt∠).边与边的关系：勾股定理－－－－――c2=a2+b2.角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt∠边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=CosA=tanA=CotA=.互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)=CosACos(90－A)=SinAtan(90－A)=CotACot(90－A)=tanA.特殊角的三角函数值：角A的度数030456090SinA的值01CosA的值10tanA的值01不存在CotA的值不存在10锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3.解斜三角形所根据的定理(在△ABC中)正弦定理：=2R.(R是△ABC外接圆半径).②余弦定理：c2=a2+b2－2abCosC；b2=c2+a2－2caCosB；a2=c2+b2－2cbCosA.③互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)=sinACos(180－A)=－cosAtan(180－A)=－cotAcotA(180－A)=－tanA.④S△ABC＝absinC=bcsinA=casinB.4.与解三角形相关的概念：水平距离垂直距离仰角俯角坡角坡度象限角方位角等.二、例题例1.已知：四边形ABCD中∠A＝60CB⊥ABCD⊥ADCB＝2CD＝1.求：AC的长.解：延长AD和BC相交于E则∠E＝30.在Rt△ECD中∵sinE=∴CE==1÷＝2.EB＝4.在Rt△EAB中∵tanE=∴AB=EBtan30。=.根据勾股定理AC＝＝.又解：连结BD设AB为xAD为y.根据勾股定理AC2＝x2+22=y2+12.根据余弦定理BD2＝x2+y2－2xyCos60=22＋12－2×2×1Cos120.得方程组解这个方程组得x=.(以下同上一解)例2.已知：如图要测量山AB的高在和B同一直线上的CD处分别测得对A的仰角的度数为n和mCD=a.试写出表示AB的算式.解：设AB为xBD为y.在Rt△ABD和Rt△ABC中xCotm=xCotn－a.∴x=.答：山高AB＝.例3.已知：四边形ABCD中∠ABC＝135∠BCD＝120CD＝6AB＝BC＝5－.求：AD的长.（1991年全国初中数学联赛题）解：作AE∥BC交CD于EBF⊥AE于FCG⊥AE于G..在Rt△ABF中BF＝Sin45=AF＝BF＝.在Rt△CGE中GE＝CGtan30=×＝1∴CE＝2ED＝4.∴AE=+5－+1=6∠AED＝120.在△AED中根据余弦定理得AD2＝62＋42－2×6×4Cos120=76.∴AD＝2.例4.如图要测量河对岸CD两个目标之间的距离在AB两个测站测得平面角∠CAB＝30∠CAD＝45∠DBC＝75∠DBA＝45AB＝.试求CD的距离.解：在△ABC中∵∠ACB＝∠CAB＝30∴BC＝AB＝∴AC＝2cos30=3.在△ABD中∠ADB＝60由正弦定理＝AD＝×sin45=÷×＝.在△ACD中由余弦定理得CD2＝32＋（）2－2×3×Cos45=5∴CD＝.例5.已知：O是凸五边形ABCDE内的一点且∠1＝∠2∠3＝∠4∠5＝∠6∠7＝∠8.求证：∠9和∠10相等或互补(1985年全国初中数学联赛题)证明：根据正弦定理得=.∴sin10=sin9∴∠9和∠10相等或互补.例6.已知：二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0两个不相等的实数根恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.解：作Rt△ABC斜边上的高CD.则sinA=sinB=.∵sinA和sinB是方程的两根根据韦达定理得sinA+sinB=；(1)sinAsinB=.(2)即=.（3）(1)2－2(2)得：(sinA)2+(sinB)2=()2－.∵sinB=cosA且(sinA)2+(cosA)2=1∴()2－=1m2+7m－8=0∴m=1m=－8.由（3）＝＝.∴＝.当m=1时没有意义；当m=-8时=.即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9.三、练习1.填空：如果从点A对着点B测得仰角是60那么从点B对着点A测得的俯角是＿＿度.点C在点D的南偏东25那么点D在C的方向是＿＿