探究三棱锥的顶点到底面射影问题.doc

三棱锥的顶点到底面的射影问题
三棱锥的顶点到底面的射影落在底面的什么位置，对解决三棱锥问题有很大帮助，记住以下结论，是学好三棱锥的重要环节。
P
A
B
C
O
图1
1、如果三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
下面简要证明。
已知：三棱锥P—ABC，PA=PB=PC，P在底面ABC上的射影为O
求证：O为△ABC的外心。
证明：连结AO，BO，CO，∵P在底面ABC上的射影为O
∴PO⊥平面ABC∵PA=PB=PC,
∴AO=BO=CO(斜线段相等,射影相等)∴O为△ABC的外心。
注：外心为三角形外接圆的圆心，即三角形三条边的垂直平分线的交点。
P
A
B
C
O
2、如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。下面简要证明。
已知：三棱锥P—ABC，PA，PB，PC与底面
所成的角相等，P在底面ABC上的射
影为O求证：O为△ABC的外心。
证明：连结AO，BO，CO，
∵P在底面ABC上的射影为O∴PO⊥平面ABC
图2
∴∠PAO，∠PBO，∠PCO为PA，PB，PC与底面所成的角
∴△PAO≌△PBO≌△PCO∴AO=BO=CO∴O为△ABC的外心。
P
A
B
C
O
D
E
F
图3
3、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。
注：三角形的内心为三条角平分线的交点
即到三角形三边距离相等的点。

如图3所示∠PDO、∠PEO、∠PFO是三个侧面与底面所成的二面角的平面角，
它们都相等，则△PDO、△PEO、△PFO全等，OD=OE=OF，
所以O为底面的内心
4.如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。（若射影点在多边形的内部）。证明过程同上。如图3
5.如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。
如图4已知：三棱锥P—ABC，PA，PB，PC两两垂直，
P在底面ABC上的射影为O求证：O为△ABC的垂心。
证明：连结AO，BO∵PA⊥PB，PA⊥PC
∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC∴AO⊥BC（三垂线定理逆定理）
同理BO⊥AC∴O是底面三角形的垂心。
6.如果三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。如图4
已知：三棱锥P—ABC，PA⊥BC，PB⊥AC
P
C
A
O
P在底面ABC上的射影为O
求证：PC⊥AB，且O为△ABC的垂心。
证明：连结AO、BO、CO
∵PO⊥平面ABC且AP⊥BC
∴AO⊥BC（三垂线定理逆定理）
同理BO⊥AC
图4
∴O是底面三角形的垂心
∴CO⊥AB∴PC⊥AB（三垂线定理）