中考数学 第11章 相似形与面积问题复习 试题.doc

第11章相似形与面积问题复习第一节相似三角形【知识点拨】1、相似三角形的判定：（1）两角对应相等两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似；（3）三边对应成比例两个三角形相似；（4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例这两个直角三角形相似。2、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。3、涉及的问题及解题思路：证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算线段长；求三角形的面积。解题时要注意抓住题设、结论的特点设法将问题设法与证两个三角形相似联系。【赛题精选】例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米EF＝FGFD＝DG。求△ECG的面积。（2003年河北省竞赛题）【说明】在相似形中计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式再设法求出待求线段的长。例2、已知在平行四边形ABCD中M、N为AB的三等分点DM、DN交于AC于P、Q两点。求AP：PQ：QC的值。（2001年河北省竞赛题）【说明】解线段a：b：c的问题可根据相关的性质将a、b、c用同一条线段表示出来再求几条线段的比。若a、b、c正好可组成一条线段常用这条线段表示这三条线段。例3、正方形ABCD中E是对角线AC上一点F是边AB上一点且AE＝2ECFB＝2AF。求∠EDF的度数（2002年河南省竞赛题）例4、如图四边形ABCD中AC与BD交于点O直线∥BD且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。求证：PM·PN＝PR·PS。（1999年山东竞赛题）【说明】证明线段成比例的方法有：证两个三角形相似、等线代换法、等比代换法。对于等积式的证明常将其改证比例式若比例式不能用上述三种方法证明时可证等积式两边都等于第三个某两条线段的乘积。例5、正方形ABCD中M、N分别在AB、BC边上且BM＝BN又BP⊥MC于P。求证：PD⊥PN。（1990年四川省竞赛题）【说明】要证相等的两角是两个三角形的角若能证这两个三角形相似且两角是对应角则达到两角相等。此种方法是证角相等的常用方法。例6、在△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：4。求证：。【说明】要证明形如几何题的常用方法有：比例法：将原等式变形为、故构造以a＋b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形；通分法：先将原等式变形为。利用相关定理将两个比通分即证出、且则原式成立。例7、在△ABC中∠ACB＝2∠ABC。求证：。（按图示辅助线以两种方法证明）【说明】证明型命题常用以下方法：利用提公因式或平方差公式将原式转化为等积式再利用三角形相似加以证明；要证可在线段b所在的直线上取一点则则再证、即可。例8、在△ABC中D、E分别是BC、AB上一点且∠1＝∠2＝∠3如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是、、。求证：（1989年全国联赛题）例9、在△ABC中BC＞ACCH是AB上的高且。试证明∠A＋∠B＝900或∠A－∠B＝900。（2001年全国初中数学联赛武汉选拨赛题）【针对训练】1、在△ABC中已知AB＝3、AC＝4、BC＝5现将它折叠使B、C两点重合则折痕长是__________.（2003年全国初中联合竞赛题）第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算常由角平分线性质定理列出比例式进行计算对于关于角平分线的证明题常由角平分线性质定理列出比例式进行代换达到证明的目的。【赛题精选】例1、在△ABC中∠C＝900CD是∠C的平分线且CA＝3CB＝4。求CD的长。例2、若PA＝PB∠APB＝2∠ACBAC与PB相交于点D且PB＝4PD＝3。求AD·DC的值。（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法解题时要注意应用。计算时要注意对应关系正确书写比例式。对于求线段ab的值的题目常由相关定理证出等积式ab＝cd求出cd的值即可。例3、I是△ABC内角平分线的交点AI交对应边于D。求证：。例4、Rt△ABC中∠ACB＝900CD⊥AB于DAF平分∠CAB交CD于E交CB于F且EG∥AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）【说明】欲证线段a＝b由线段成比例定理得出含a、b的比例式、然后证从而得到再证从而得到a＝b。本题证法