高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案.doc

3．1数系的扩充1.了解数系的扩充过程和引进虚数单位的必要性．2.理解复数的概念和表示法以及数系由实数集扩充到复数集出现的一些基本概念．3.掌握复数的代数形式和复数相等的充分条件并会运用．1．虚数单位我们引入一个新数i叫做虚数单位并规定：(1)i2＝－1；(2)实数可以与i进行四则运算进行四则运算时原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数的概念和表示法(1)定义：形如a＋bi(ab∈R)的数叫做复数．(2)复数集：全体复数所组成的集合叫做复数集记作C．即C＝{a＋bi|a∈Rb∈R}．(3)复数的表示法：复数通常用字母z表示即z＝a＋bi(ab∈R)其中a叫做复数z的实部其单位是1b叫做复数z的虚部其单位是i．(4)复数的有关概念：对于复数z＝a＋bi(ab∈R)当且仅当b＝0时z是实数a；当b≠0时z叫做虚数．特别地当a＝0b≠0时z＝bi叫做纯虚数．(5)复数的分类如下：eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi(ab∈R))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(\a\al(实数(b＝0)))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(有理数)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正有理数零负有理数))\a\vs4\al(循环小数(整数、有限小数、无限循环小数))\x(无理数)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正无理数负无理数))\a\vs4\al(无限不循环小数)))小数\x(\a\al(虚数(b≠0)))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(纯虚数(a＝0b≠0))\x(非纯虚数(a≠0b≠0))))))复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可用如图表示．至此我们学过的有关数集的关系为：N*NZQRC．(6)复数的代数形式：用a＋bi(ab∈R)表示复数z的形式叫做复数的代数形式即z＝a＋bi(ab∈R)．3．复数相等的充要条件(1)如果两个复数的实部与虚部分别相等那么我们就说这两个复数相等．即a＋bi＝c＋di(abcd∈R)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝cb＝d.))(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．1．判断(正确的打“√”错误的打“×”)(1)虚数单位i也是一个复数．()(2)虚数单位i是一个虚数并且还是一个纯虚数．()(3)复数z＝3i－eq\r(2)则它的实部是3虚部是－eq\r(2).()(4)实部为零的复数一定是纯虚数．()(5)若复数z＝m＋ni则mn一定是复数z的实部和虚部．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×2．若全集C＝{复数}Q＝{有理数}P＝{虚数}则(∁CQ)∪(∁CP)是()A．CB．无理数集C．QD．R解析：选A．在全集C中有理数集Q的补集是虚数集P和无理数集；虚数集P的补集是实数集所以(∁CQ)∪(∁CP)是全集C．3．以3i－eq\r(2)的虚部为实部以－3＋eq\r(2)i的实部为虚部的复数是()A．3－3iB．3＋iC．－eq\r(2)＋eq\r(2)iD．eq\r(2)＋eq\r(2)i答案：A4．适合x－3i＝(8x－y)i的实数xy的值分别是________．解析：根据复数相等的充要条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝08x－y＝－3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0y＝3.))答案：03复数的概念判断下列命题的真假：(1)若x2＋y2＝0则x＝y＝0.(2)若z＝a＋bi则仅当a＝0b≠0时为纯虚数．(3)若a∈R则(1－a)i是纯虚数．【解】(1)举反例．当x＝1y＝i时x2＋y2＝0成立所以(1)是假命题；(2)中ab∈R时才成立所以(2)是假命题；(3)举反例．当a＝1时1－a＝0不满足纯虚数的条件所以(3)是假命题．eq\a\vs4\al()解答与复数概念有关的题目主要是对概念要清楚不能似是而非如：(1)在复数的代数形式a＋bi(ab∈R)中条件“ab∈R”很关键若没有这一条件则其实部和虚部未必是a和b.(2)注意虚数不能比较大小．1.判断下列命题的真假：(1)当z∈C时z2≥0.(2)若a＞b则a＋i＞b＋i.(3)复数－i＋1的虚部为－i.解：(1)举反例．当z＝i时z2＝－1所以(1)是假命题．(2)由于a＞b则ab是实数而a＋ib＋i是虚数两个虚数是不能比较大小的所以(2)是假命题．(3)复数－i＋1虚部是－1所以(3)是假命题．复数的分类当实数m为何值时复数z＝e