高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列的概念学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案.doc

92．2.1等差数列的概念1.理解等差数列的概念．2.理解等差中项的概念．3.能够利用等差数列的定义去解决一些问题．[学生用书P21])1．等差数列的定义(1)前提条件：①从第二项起；②每一项与它的前一项的差等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差常用字母d表示．2．等差中项(1)前提：三个数aAb成等差数列．(2)结论：A叫做ab的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．3．等差数列的判定方法(1)利用定义：若an＋1－an＝d(常数)n∈N*⇔{an}为等差数列．(2)借助等差中项：若2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}为等差数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数abc满足2b＝a＋c则abc一定是等差数列．()解析：(1)错误．若这些常数都相等则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若abc满足2b＝a＋c即b－a＝c－b故abc为等差数列．答案：(1)×(2)√(3)√2．等差数列－6－303…的公差d＝________．解析：(－3)－(－6)＝3故d＝3.答案：33．下列数列：①0000；②01234；③13579；④0123….其中一定是等差数列的有________个．解析：①②③是等差数列④只能说明前4项成等差数列．答案：34．在△ABC中三内角A、B、C成等差数列则B等于______．解析：因为三内角A、B、C成等差数列所以2B＝A＋C又因为A＋B＋C＝180°所以3B＝180°所以B＝60°.答案：60°等差数列的判断[学生用书P22]判断下列数列是否是等差数列．(1)an＝4n－3；(2)an＝n2＋n.【解】(1)因为an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4所以{an}是首项为1公差为4的等差数列．(2)法一：由an＝n2＋n可得a1＝2a2＝6a3＝12.因为a2－a1≠a3－a2所以{an}不是等差数列．法二：an＋1－an＝[(n＋1)2＋(n＋1)]－(n2＋n)＝2n＋2.因为2n＋2的值与n有关不是一个常数所以{an}不是等差数列．eq\a\vs4\al()判断数列是等差数列的基本方法(1)要证一个数列是等差数列可以运用定义证明即证an＋1－an＝d(其中d是与n无关的常数)n∈N*成立即可．(2)要证一个数列不是等差数列既可以运用定义证明也可以通过举出反例加以说明．举反例时只需举出一个反例即可不必逐一说明．1.设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N*都有2bn＝an＋an＋1且aeq\o\al(2n＋1)＝bn·bn＋1.求证：{eq\r(bn)}是等差数列．证明：由aeq\o\al(2n＋1)＝bn·bn＋1得an＋1＝eq\r(bn·bn＋1)所以an＝eq\r(bn－1·bn).代入2bn＝an＋an＋1得2bn＝eq\r(bn－1·bn)＋eq\r(bn·bn＋1).所以2eq\r(bn)＝eq\r(bn－1)＋eq\r(bn＋1).所以{eq\r(bn)}是等差数列．等差数列定义的运用[学生用书P22]已知三个数成等差数列它们的和为3它们的平方和为11求这个等差数列．【解】法一：设第一个数为a1公差为d由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＝3aeq\o\al(21)＋（a1＋d）2＋（a1＋2d）2＝11))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1①3aeq\o\al(21)＋6a1·d＋5d2＝11②))将d＝1－a1代入②式并化简得aeq\o\al(21)－2a1－3＝0解得a1＝－1或a1＝3.从而d＝2或d＝－2.故所求等差数列为－113或31－1.法二：设所求数列为a－daa＋d由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝3（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝11))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＝33a2＋2d2＝11))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1d＝±2.))故所求等差数列为－113或31－1.eq\a\vs4