高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列的概念学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案.doc

2．2.1等差数列的概念学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列：(1)05101520；(2)4444…；(3)1815.51310.585.5.它们有什么共同的特征？梳理一般地如果一个数列从第________项起每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个________那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的________公差通常用字母d表示可正可负可为零．知识点二等差中项的概念思考所给的两个数之间插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)24；(2)－15；(3)ab；(4)00.梳理如果aAb这三个数成等差数列那么A＝eq\f(a＋b2)我们把A＝eq\f(a＋b2)叫做a和b的等差中项．知识点三等差数列的判定与证明思考1如何判定有穷数列为等差数列？思考2如何判定无穷数列为等差数列？梳理一般地要判定和证明数列{an}为等差数列只需证明an＋1－an＝d始终成立．类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9753…－2n＋11…；(2)－1112335…12n－13…；(3)1212…；(4)1246810…；(5)aaaaa….反思与感悟判断一个数列是不是等差数列就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数但数列项数较多或是无穷数列时逐一验证显然不行这时可以验证an＋1－an(n≥1n∈N*)是不是一个与n无关的常数．跟踪训练1下列是等差数列的有________．(填序号)①345678…；②1－1－3－5－7…；③2222…；④5555555555….类型二等差中项例2在－1与7之间顺次插入三个数abc使这五个数成等差数列求此数列．反思与感悟在等差数列{an}中由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2n∈N*)即an＝eq\f(an＋1＋an－12)从而由等差中项的定义知等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2若m和2n的等差中项为42m和n的等差中项为5求m和n的等差中项．类型三等差数列的证明例3已知数列{an}的通项公式an＝2n＋5.求证{an}是等差数列．反思与感悟为了确保从第二项起每一项减前一项的差始终是同一个常数．当证明项数较多或者无穷的数列为等差数列时不宜逐项验证而需证an＋1－an＝d.跟踪训练3数列{an}中an＝2n求证{lnan}为等差数列．1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n则它的公差d＝________.2．已知在△ABC中三内角A、B、C成等差数列则角B等于________．3．等差数列{an}中已知a1＝eq\f(13)a2＋a5＝4则公差d的值为________．4．数列{an}的通项公式为an＝n2试证明{an}不是等差数列．1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)an＋1－an＝d(d为常数n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列则只需举出一个反例即可．2．任意两个实数ab的等差中项即为它们的平均值eq\f(a＋b2)等差数列{an}中从第2项起每一项都是它前后邻项的等差中项．答案精析问题导学知识点一思考从第2项起每项减去它的前一项所得的差是同一个常数．梳理二常数公差知识点二思考插入的数分别为32eq\f(a＋b2)0.知识点三思考1因为有穷数列项数有限可逐项验证从第二项起是否每一项减前一项所得的差始终相等即可．思考2因为无穷数列项数无限多逐项验证不可行需要证明an＋1－an＝dn∈N*.题型探究例1解由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列(3)(4)不是等差数列．跟踪训练1①②③解析由等差数列定义可知①②③均为等差数列．对于④55－5≠555－55故不是．例2解∵－1abc7成等差数列∴b是－1与7的等差中项∴b＝eq\f(－1＋72)＝3.又a是－1与3的等差中项∴a＝eq\f(－1＋32)＝1.又c是3与7的等差中项∴c＝eq\f(3＋72)＝5.∴该数列为－11357.跟踪训练2解由m和2n的等差中项为4得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5得2m＋n＝10.两式相加得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为eq\f(m＋n2)＝3.例3证明∵an＝2n＋5∴an＋1＝2(n＋1)＋5.∴an＋1－an＝2(n＋1)＋