高中数学 第2章 数列 2.1 数列及等差数列的概念学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案.doc

等比数列的概念与通项公式一、考点突破知识点课标要求题型说明数列及等差数列的概念1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；2.理解数列的通项公式和递推公式；3.能够求简单的数列的通项公式；4.掌握等差数列的概念选择题填空题数列和等差数列的概念是数列的基础注意数列是特殊的函数这一特征二、重难点提示重点：数列和等差数列的判断。难点：求简单的数列的通项公式。考点一：数列的概念（1）定义：按照一定次序排列的一列数称为数列数列中的每个数叫做这个数列的项第项记做。（2）通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式。【核心突破】①数列的通项公式实际上是一种定义域特殊的函数解析式即。②并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如的不足近似值按精确的程度可形成…它就没有通项公式。③如果一个数列有通项公式在形式上可以不止一个。换言之一个数列的通项公式可以有多种形式。例如：数列…的通项公式可以写成还可以写成其中。④数列中的项必须是数它可以是实数也可以是复数（待以后学习）。⑤用符号{an}表示数列只不过“借用”集合的符号它们之间有本质的区别：a.集合中的元素是互异的而数列中的项可以是相同的。b.集合中的元素是无序的而数列中的项必须按一定顺序排列必须是有序的。（3）数列的分类①按照项数有限还是无限来分：有穷数列和无穷数列.②按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。③按照任何一项的绝对值是否小于某一正数来分：有界数列和无界数列。（4）数列的表示法数列可以用解析式、列表或图象来表示。（5）数列递推公式数列的第项与它前面相邻一项（或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式。（6）数列的前n项和公式数列{an}的前项和与的关系可用一个公式表示则这个公式叫做数列的前项和公式。考点二：数列与函数的关系（1）数列与函数的关系：（2）数列的通项公式可用来代替。数列的一般形式为简记为{an}。（3）数列是一个特殊的函数其图象是一系列的点。考点三：等差数列的概念如果一个数列从第二项起每一项与它的前面相邻的项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差。符号语言：若{an}中（为常数）则{an}为等差数列。注意：等差数列的定义既是一种判定方法也是一种性质。例题1（利用观察法求数列的通项公式）写出下列数列的一个通项公式。（1）…；（2）－1－－…；（3）3…；（4）9999999999…。思路分析：观察→归纳an与n的关系→验证结论→得出答案。答案：（1）根据题意分析可知：分子为2的倍数即为2n分母比分子的平方小1所以an＝。（2）该数列的各项符号是负正交替变化而各项的绝对值为…所以an＝。（3）该数列的各项都可以写成根式…即…所以an＝。（4）因为9＝101－199＝102－1999＝103－19999＝104－1…所以an＝10n－1。技巧点拨：1.本题中探寻数列中的项与项数n之间的关系时应注意：（1）对于分式的分母分子应分别考虑各个击破；（2）正负项交替出现时要引入控制符号的因式（－1）n。2.此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n相关且便于表达的关系具体方法为：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝对值特征。例题2（等差数列的证明）已知数列{an}满足：a1＝4an＝4－（n≥2）bn＝。求证数列{bn}是等差数列。思路分析：＝常数→bn＋1－bn＝常数→数列{bn}是等差数列。答案：因为an＝4－（n≥2）所以an＋1－2＝2－＝所以（n≥1）故（n≥1）即bn＋1－bn＝（n∈N*）。所以数列{bn}是等差数列。技巧点拨：本题中对条件的转化使用是个难点应掌握对条件的恰当转化。灵活设元求解等差数列已知四个数成等差数列且四个数之和为26第二个数与第三个数之积为40求这个等差数列。思路分析：若设四个数分别为aa＋da＋2da＋3d列出方程组可以求解但解方程时较麻烦若对称设四个数分别为a－3da－da＋da＋3d则解方程时会很简单。答案：设这四个数分别为a－3da－da＋da＋3d由题设知解得或所以这个数列为25811或11852。技巧点拨：1.本题利用对称设法设出数列中的四个数由四数之和为定值可直接求出未知量a进一步可以很方便地求出d。2.当三个数或四个数成等差数列时可采用对称的设法三个数时设a－daa＋d；四个数时设a－3da－da＋da＋3d再由题目其他条件建立关于a、d的方程组通过解方程组求出所要结果。