（江苏专用）高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 高考热点追踪（二）学案 文 苏教版-苏教版高三全册数学学案.doc

高考热点追踪(二)三角函数与平面向量交汇集中展示当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性重视知识的交汇性．向量具有代数与几何形式的双重身份它是新旧知识的一个重要的交汇点成为联系这些知识的桥梁因此向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势以下几例重在为备考中的考生揭示题型规律与同学们共同归纳与探究解题策略．一、三角与平面向量模交汇已知向量a＝(sinθ1)b＝(1cosθ)－eq\f(π2)＜θ＜eq\f(π2)．求|a＋b|的最大值．【解】|a＋b|＝eq\r(（sinθ＋1）2＋（1＋cosθ）2)＝eq\r(sin2θ＋2sinθ＋1＋cos2θ＋2cosθ＋1)＝eq\r(2（sinθ＋cosθ）＋3)＝eq\r(2\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π4)))＋3)当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π4)))＝1时|a＋b|有最大值此时θ＝eq\f(π4)最大值为eq\r(2\r(2)＋3)＝eq\r(2)＋1．[名师点评]本题求|a＋b|的最大值利用了向量模的定义也可以用平方法同学们可以尝试．二、三角与平面向量线性运算交汇(2019·南京模拟)设两个向量a＝(λ＋2λ2－cos2α)和b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m\f(m2)＋sinα))其中λmα为实数．若a＝2b求eq\f(λm)的取值范围．【解】由a＝(λ＋2λ2－cos2α)和b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m\f(m2)＋sinα))a＝2b可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝2mλ2－cos2α＝m＋2sinα))设eq\f(λm)＝k代入方程组可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(km＋2＝2mk2m2－cos2α＝m＋2sinα))消去m化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2－k)))eq\s\up12(2)－cos2α＝eq\f(22－k)＋2sinα再化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4k－2)))eq\s\up12(2)－cos2α＋eq\f(2k－2)－2sinα＝0再令eq\f(1k－2)＝t代入上式得(sinα－1)2＋(16t2＋18t＋2)＝0可得－(16t2＋18t＋2)≥0解不等式得t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－\f(18)))因而－1≤eq\f(1k－2)≤－eq\f(18)解得－6≤k≤1即－6≤eq\f(λm)≤1．[名师点评]本题字母比较多运算复杂要认真体会换元法和整体思想的运用．三、三角与平面向量平行交汇已知a＝(cosx2)b＝(2sinx3)若a∥b则sin2x－2cos2x＝__________．【解析】因为a＝(cosx2)b＝(2sinx3)a∥b所以3cosx－4sinx＝0即tanx＝eq\f(34)．所以sin2x－2cos2x＝eq\f(2sinxcosx－2cos2xsin2x＋cos2x)＝eq\f(2tanx－2tan2x＋1)＝－eq\f(825)．【答案】－eq\f(825)[名师点评]本题主要考查了向量共线的条件、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本知识．四、三角与平面向量垂直交汇(2019·苏州模拟)已知向量a＝(sinθeq\r(3))b＝(1cosθ)θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π2)\f(π2)))．若a⊥b则θ＝________．【解析】由a⊥b得a·b＝0所以a·b＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝0即2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π3)))＝0．因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π2)\f(π2)))所以θ＝－eq\f(π3)．【答案】－eq\f(π3)[名师点评]本题利用向量垂直的性质得到三角函数式最终求解得到答案．五、三角与平面向量夹角交汇设a＝(1＋cosαsinα)b＝(1－cosβsinβ)c＝(10)α∈(0π)β∈(π2