(完整word版)数值分析考试复习总结(word文档良心出品).doc

第一章误差相对误差和绝对误差得概念例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段?在哪些阶段将有哪些误差产生?答:实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差参数误差选用数值方法产生:截断误差计算过程产生:舍入误差传播误差6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差.对于，估计对于的误差和相对误差.解的相对误差：由于.,.（）对于的误差和相对误差.==.□2有效数字基本原则:1两个很接近的数字不做减法:2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1）（2）（3）.解(1).(2).(3).□第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））插值基函数（因子）可简洁表示为其中:.例1n=1时，线性插值公式，例2n=2时，抛物插值公式牛顿（Newton）插值公式由差商的引入，知过点的一次插值多项式为其中过点的二次插值多项式为其中重点是分段插值:例题:1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/2解(2)：方法一.由Lagrange插值公式可得：方法二.令由，，定A，B（称之为待定系数法）□15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.解，，，设，则：误差估计：.□第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分两种情形：连续意义下在空间中讨论离散意义下在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值最佳逼近多项式的法方程组设的维子空间=span,其中是的线性无关多项式系.对，设其最佳逼近多项式可表示为:由即（*2）其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.由的线性无关性，可证明正定，即上述法方程组的解存在且唯一.11、求，的一次和二次最佳平方逼近多项式.解：设，分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。内积计算如下内积：,,,,,,建立法方程组：(1)，得：，于是(2)解得：，，,于是：.□第四章1为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?答:梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.2:方法好坏的判断:代数精度误差分析1.代数精度的概念定义若求积公式（*）对所有次数的多项式是精确的，但对次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。等价定义若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具有次代数精度。3:误差1等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数待定利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式2给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss求积公式公式特点：系数和节点均待定3分段插值多项式近似代替（分段求积）复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之：分段＋低次求积公式----------称为复化求积法两类低次（）求积公式：Newton－Cotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式Gauss型：一点、两点、三点Gauss求积公式称为复化一点、两点、三点Gauss公式复化梯形公式（）复化辛甫生公式:（每个上用辛甫生公式求积），为的中点复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式：复化柯特斯公式其中，，为的中点，，为的四等分的分点自适应复化求积法计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握因为，取得太大则精度难以保证，太小则增加计算工作量.自适应复化梯形法的具有计算过程如下：步1步2步3判断？若是，则转步5；步4，转步2；步5输出.第五章1:常用方法:(1).直接解法：逐步（顺序）消去法、主元素法、矩阵分解法等；(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解①.经典迭代法迭代法、迭代法、逐次超松弛（SOR）迭代法等；②.Krolov子空间的迭代法根据的对称性，又分为：对称正定-------共轭梯度法非对称---------BICG、GMRes(最小残量法)③.解一类特定背景问题的迭代法多重网格法2:几类迭代法优缺点比较:3:迭代方法目标：求解其中，非奇异。基本思想：把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。构造迭代格式基本步骤：将分裂：，其中，非奇异构造迭代格式其中，称之为迭代矩阵,其中，为的残余向量此时，常用的迭代方法将分裂为其中，,Jacobi迭代方法若，迭代格式①其中Jacobi迭代矩阵：①式可写为分量形式.（*1）方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法.Gauss—Seidle迭代方法若，迭代格式②其中，Gauss-Seidel迭代矩阵：其分量形式,