第6讲函数的性质(一).ppt

新课标高中一轮总复习第二单元函数理解函数的单调性及其几何意义，掌握判断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单调性解题，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解决问题.因为奇、偶函数的定义域关于原点对称，所以p+q=0.3.下面四个命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).其中正确命题的个数是()①是错的，举反例：f(x)=x-2是偶函数，图象关于y轴对称，但与y轴没有交点;②是错的,举反例：f(x)=是奇函数,图象不过原点；③是正确的;④是错的,举反例:f(x)=0，x∈［-1,1］既是奇函数又是偶函数，但是只要定义域不同,就是不同的函数.5.(1)函数f(x)=2x2-3x+1的单调递增区间是；(2)函数f(x)=|2x2-3x+1|的单调递增区间是；(3)函数f(x)=的单调递增区间是.(1)显然递增区间为[,+∞).(2)函数f(x)=|2x2-3x+1|的图象如图,递增区间是[,]和[1,+∞).(3)对于f(x)=,定义域是[1,+∞)∪(-∞,].利用复合函数的单调性知，递增区间是[1,+∞).1.函数的单调性及其几何意义一般的，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时，(1)若都有f(x1)①f(x2),则称f(x)在区间D上是增函数；(2)若都有f(x1)②f(x2)，则称f(x)在区间D上是减函数.它的等价形式,即若x1、x2∈［a,b］,那么>0f(x)在区间［a,b］上是③;<0f(x)在区间［a,b］上是④.其几何意义:⑤..(2)(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］>0f(x)在区间［a,b］上是增函数；(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］<0f(x)在区间［a,b］上是减函数.2.单调函数及单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),我们就说f(x)在这个区间上具有严格的单调性,区间D叫做f(x)的增区间(或减区间),统称为单调区间.3.复合函数的单调性复合函数y=f［g(x)］由内、外两层(分别是u=g(x)和y=f(u))函数构成，其单调性可按⑥的原则进行判断，即内、外两层函数在公共定义域上，若同是增函数或同是减函数，则f［g(x)］为增函数；若是一增一减，则f［g(x)］为减函数.4.函数奇偶性一般的，如果⑦.(1)都有⑧,那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有⑨,那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函数的图象是关于⑩成对称的图形.若奇函数的定义域含有数0,则必有;偶函数的图象是关于成对称的图形.偶函数对定义域内的任意x的值，则必有.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的条件;在定义域的公共部分内，当f(x),g(x)均为奇函数时，有f(x)±g(x)是奇函数；f(x)g(x)是偶函数.当f(x),g(x)均为偶函数时，有f(x)±g(x)是;f(x)g(x)是.①<;②>;③增函数；④减函数；⑤增（或减）函数图象上任意两点的连线斜率都大于（或小于）零；⑥同增异减；⑦对于函数f(x)的定义域内任意一个x;⑧f(-x)=-f(x);⑨f(-x)=f(x);⑩原点；中心；f(0)=0;y轴；轴；f(-x)=f(x)=f(|x|);必要不充分；偶函数；偶函数（1）函数f(x)=1-x+x-1的奇偶性是；（2）已知函数f(x)=a-是奇函数，则a=.（1）因为f(x)的定义域是{1}，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数.（2）（方法一）由f(x)=-f(-x)=-(a-)2a=+=1a=.（方法二）由f(0)=0a=.讨论函数f(x)=x+ax(a>0)的单调性.（方法一）定义法.由于函数的定义域为{x|x∈R且x≠0},且f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，因此可先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性.设0<x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)(1-).当0<x1<x2≤时，恒有>1,此时f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)在(0,］上是减函数.当≤x1<x2时，恒有0<<1,此时f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在［,+∞)上是增函数.因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(-∞,-］和［,+∞)上是增函数，在［-,0)和(0,］上是减函数.(方法二)导数法.由于函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，因此可先讨论f(x)在（0，+∞）上的单调性.对函数求导数,得f′(x)=1-.令f′(x)≥