高中数学 第2章 平面向量 2.5 平面向量应用举例导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案.docx

2．5平面向量应用举例[教材研读]预习课本P109～112思考以下问题1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？[要点梳理]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系用向量表示问题中涉及的几何元素将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与位移s的数量积．[自我诊断]判断(正确的打“√”错误的打“×”)1．若△ABC是直角三角形则有eq\o(AB\s\up15(→))·eq\o(BC\s\up15(→))＝0.()2．力是既有大小又有方向的量所以也是向量．()3．速度、加速度与位移的合成与分解实质上就是向量的加减法运算．()[答案]1.×2.√3.√eq\a\vs4\al(题型一向量在平面几何中的应用)如图所示在正方形ABCD中EF分别是ABBC的中点求证：AF⊥DE.[思路导引]可以选取eq\o(AB\s\up15(→))eq\o(AD\s\up15(→))为基底表示出eq\o(AF\s\up15(→))eq\o(DE\s\up15(→))将二者进行数量积运算；也可以设出正方形边长以两条邻边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系求出eq\o(AF\s\up15(→))eq\o(DE\s\up15(→))的坐标进行数量积的坐标运算．[证明]证法一：设eq\o(AD\s\up15(→))＝aeq\o(AB\s\up15(→))＝b则|a|＝|b|a·b＝0又eq\o(DE\s\up15(→))＝eq\o(DA\s\up15(→))＋eq\o(AE\s\up15(→))＝－a＋eq\f(b2)eq\o(AF\s\up15(→))＝eq\o(AB\s\up15(→))＋eq\o(BF\s\up15(→))＝b＋eq\f(a2)所以eq\o(AF\s\up15(→))·eq\o(DE\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b2)))＝－eq\f(12)a2－eq\f(34)a·b＋eq\f(b22)＝－eq\f(12)|a|2＋eq\f(12)|b|2＝0.故eq\o(AF\s\up15(→))⊥eq\o(DE\s\up15(→))即AF⊥DE.证法二：建立平面直角坐标系如图设正方形的边长为2则A(00)D(02)E(10)F(21)eq\o(AF\s\up15(→))＝(21)eq\o(DE\s\up15(→))＝(1－2)．因为eq\o(AF\s\up15(→))·eq\o(DE\s\up15(→))＝(21)·(1－2)＝2－2＝0所以eq\o(AF\s\up15(→))⊥eq\o(DE\s\up15(→))即AF⊥DE.已知在Rt△ABC中∠C＝90°设AC＝mBC＝n.(1)若D为斜边AB的中点求证：CD＝eq\f(12)AB.(2)若E为CD的中点连接AE并延长交BC于F求AF的长度(用mn表示)．[思路导引]解决此题时应建立适当的坐标系(1)中依据AB两点坐标写出D点坐标转化为向量的模求解．(2)中由AEF三点共线得eq\o(AF\s\up15(→))＝λeq\o(AE\s\up15(→))求得F点坐标即可表示AF的长度．[解](1)证明：以C为坐标原点以边CBCA所在的直线分别为x轴y轴建立平面直角坐标系如图所示A(0m)B(n0)．∵D为AB的中点∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2)\f(m2)))∴|eq\o(CD\s\up15(→))|＝eq\f(12)eq\r(n2＋m2)|eq\o(AB\s\up15(→))|＝eq\r(m2＋n2)∴|eq\o(CD\s\up15(→))|＝eq\f(12)|eq\o(AB\s\up15(→))|即CD＝eq\f(12)AB.(2)∵E为CD的中点∴Eeq\b\lc\(\rc\