几何流上的若干几何量及相关问题研究.doc

几何流上的若干几何量及相关问题研究本论文主要研究几何流上若干几何量的问题,包括Ricci流下p-Laplace算子的第一特征值,扩散算子第一特征值的上界估计,热型方程的Harnack估计,紧致黎曼orbifolds上度量的Ricci形变,以及完备流形上Yamabe流的几何性质等.具体地讲,首先在第二章中,我们研究了关于在闭流形上p-Laplace算子的第一特征值沿着Ricci流的连续性、单调性和可微性问题.证明了在一些曲率条件下,p-Laplace算子的第一特征值沿着Ricci流是严格单调且几乎处处可微的.特别地,对于定向的闭曲面,在没有任何曲率限制的情形下,构造了各式各样的单调量,因此证明了p-Laplace算子的第一特征值是几乎处处可微的.当Euler示性数为负值时,得到了一个p-特征值的比较型定理.在第三章中,给出了扩散算子第一特征值的一个上界.设L=△-▽φ.▽是定义在完备黎曼流形上的一个对称扩散算子.如果流形上的m-维Bakry-EmeryRicci曲率满足Ricm,n(L)≥-(n-1),那么可以得到扩散算子L第一特征值的个上界估计.此结果推广了郑绍远的关于Laplacian第一特征值的一个上界估计的结果.在第四章中,一方面,研究了完备流形上一个非线性热型方程的Harnack估计.首先,给出了非线性热型方程正解的Li-Yau型局部Harnack估计；其次,黎曼度量在一般几何流演化下,给出了其正解的椭圆型局部Harnack估计.这些结果推广了许多重要的梯度估计,而且也给出了L.Ma所提出问题的另外一种解答.另一方面,建立了一种有趣的插值Harnack不等式,它联系了热方程限制性的Li-YauHarnack不等式和闭曲面上Ricci流的限制性的Chow-HamiltonHarnack不等式.这个结果推广了B.Chow的插值Harnack不等式.在第五章中,主要研究了黎曼orbifolds上度量的Ricci形变问题.我们证明了：任何紧致具有正数量曲率的n-维(n≥4)黎曼orbifold,若它的Weyl曲率张量和Ricci曲率张量的范数与数量曲率比较不算大,则它可Ricci形变到一个常正曲率的黎曼orbifold此结果不但把G.Huisken关于黎曼流形的结果推广到黎曼orbifold上,而且把R.Hamilton关于3-维黎曼orbifold的结果推广到高维情形.最后,我们研究了完备非紧流形上Yamabe流的几何性质问题.主要证明了在Yamabe流下的局部Bernstein-Bando-Shi类型的梯度估计,以及运用它们给出了局部共形平坦流形上Yamabe流的紧性定理.在局部共形平坦流形上,调查了在Yamabe流下的两个几何不变量(渐近体积比和渐近数量曲率比)；同时证明了在此类流形上,任何Yamabe流的曲率算子正的且有界的TypeⅠancient解具有无穷的渐近数量曲率.另外,讨论了完备非紧的Yamabesolitons与其流形的拓扑关系.还给出了Yamabe流的维数约化定理及其它的应用.